若干類Hopf代數(shù)的表示.pdf

1、Hopf代數(shù)的構(gòu)造及分類是Hopf代數(shù)的重要研究內(nèi)容.近年來，隨著Hopf代數(shù)與量子群及表示論的交叉融合，出現(xiàn)了許多新的構(gòu)造方法.例如，利用Hopfquiver和Hopf?；験etter-Drinfeld?？梢詷?gòu)造余根為群代數(shù)的pointedHopf代數(shù)，這些都是分次Hopf代數(shù)，由這些分次Hopf代數(shù)通過提升可以構(gòu)造很多非分次Hopf代數(shù).因此研究這些分次Hopf代數(shù)的性質(zhì)有著重要的理論價值，這也是Hopf代數(shù)研究的熱點問題之一.最近

2、，Cibils等利用(n)階循環(huán)群代數(shù)上的一個2維Yetter-Drinfeld模構(gòu)造了一類新的Hopf代數(shù)，其中基礎(chǔ)域的特征p＞0，且p|n.分特征p=2和p＞2兩種情形，這類Hopf代數(shù)分別記為H和H（λ，μ）.本文主要研究這兩類Hopf代數(shù)的表示及性質(zhì)、Yetter-Drinfeld模以及Hopf-Galois對象。
　　 在第一章中，作為本文的基礎(chǔ)我們介紹了一些相關(guān)的基本概念和基本結(jié)論。
　　 在第二章中，我們研

3、究H的表示.首先證明H是一個對稱的Hopf代數(shù).然后利用H是有限維的分次Hopf代數(shù)，給出它的所有互不同構(gòu)的單模，再利用H的余根kG中的一組冪等元，得到H的所有互不同構(gòu)的不可分解投射模（不可分解內(nèi)射模）和Block，并且證明這些Block作為代數(shù)是彼此同構(gòu)的.進(jìn)一步地，我們考察單模通過自身的擴張，計算這些擴張的維數(shù).并由此描述H的Gabriel箭圖.其次，利用H是對稱代數(shù)和它的Jacobson根的一些信息，證明H的表示型是wild的.最

4、后，我們給出單模的極小投射表現(xiàn)和極小內(nèi)射表現(xiàn)，并利用這些極小表現(xiàn)分別給出H上的起始于單模和終止于單模的幾乎可裂序列。
　　 在第三章中，我們研究H（λ，μ）的表示.首先，我們給出H（λ，μ）作為代數(shù)的生成元g、a和b之間的一些交換公式，證明H(λ，μ)是一個對稱的Hopf代數(shù).進(jìn)而證明在Hopf代數(shù)同構(gòu)下，H(λ，μ)可分為兩類:H(0，0)和H(1，0).然后，我們給出H（λ，μ）上單模的結(jié)構(gòu)與同構(gòu)分類，并通過考察兩個單模的張

5、量積模的socle，證明H（λ，μ）上兩個單模的張量積是不可分解模.進(jìn)一步地，利用H(λ，μ)的余根，即群代數(shù)kG中的一組冪等元，構(gòu)造H(λ，μ)中的一組冪等元，由此給出H(λ，μ)上的不可分解投射模(不可分解內(nèi)射模)和Block.其次，我們考察不可分解投射模的根，計算出單模通過自身擴張的維數(shù)，并由這些結(jié)論描述H（λ，μ）的Gabriel箭圖.由此證明H（λ，μ）的表示型是wild的.最后，我們給出H(0，0)上單模的一個極小投射表現(xiàn)和

6、一個極小內(nèi)射表現(xiàn)，利用這些極小表現(xiàn)分別得到了起始于單模和終止于單模的幾乎可裂序列.對于H(1，0)，我們給出它的單模的極小投射表現(xiàn)，由此得到終止于單模的幾乎可裂序列。
　　 在第四章中，我們討論H和H（λ，μ）上的單Yetter-Drinfeld模.我們首先分析單Yetter-DrinfeldH-模應(yīng)該具有的形式，并利用H的代數(shù)生成元之間的關(guān)系給出這些生成元在單H-模的生成元上作用的表達(dá)式.然后利用這些表達(dá)式，描述單Yetter

7、-DrinfeldH-模的結(jié)構(gòu)和同構(gòu)分類，并計算它們的維數(shù).類似地，我們還給出H（λ，μ)上所有單Yetter-Drinfeld模的結(jié)構(gòu)、同構(gòu)分類及其維數(shù)。
　　 在第五章中，我們探討Hopf代數(shù)H和H（λ，μ)上的Hopf-Galois對象.我們首先給出H上的Hopf-Galois對象和相應(yīng)的2-cocycle的結(jié)構(gòu)，然后確定H上的Hopf-BiGalois對象.最后，我們給出H(0，0)上的一部分Galois對象，相應(yīng)的2-