Johnson方案的Terwilliger代數(shù).pdf

1、代數(shù)組合是個(gè)相對(duì)“年輕”的研究領(lǐng)域.從1984年日本代數(shù)組合學(xué)家Eiichi Bannai和Tatsuro Ito出版了專著《Algebra CombinatoricsⅠ:associationscheme》后，“代數(shù)組合”這個(gè)術(shù)語開始流行起來.但是代數(shù)組合的理論起源卻可以追溯到群表示論，且最初是應(yīng)用在編碼和設(shè)計(jì)領(lǐng)域的.而近年來這一領(lǐng)域發(fā)展迅速，與數(shù)學(xué)的許多分支例如李代數(shù)、量子群和統(tǒng)計(jì)力學(xué)都有著密切聯(lián)系.
　　《Algebra C

2、ombinatoricsⅠ:association scheme》這本書提出并詳細(xì)討論了（P和Q）-多項(xiàng)式結(jié)合方案的分類問題.這個(gè)分類目前是代數(shù)組合的核心問題:(P和Q)-多項(xiàng)式結(jié)合方案不僅本身具有非常有趣的性質(zhì)而且作為編碼/設(shè)計(jì)理論的底空間也是非常重要的.Terwilliger對(duì)這一分類做了非常重要的貢獻(xiàn)，他提出了次成分代數(shù)的概念（現(xiàn)在我們稱其為Terwilliger代數(shù)或簡稱為T-代數(shù)）.另外他建立了關(guān)于薄的情形的表示理論，也就是L

3、eonard系統(tǒng)理論[23，24，25].Terwilliger代數(shù)包含Bose-Mesner代數(shù)，而且Terwilliger代數(shù)比Bose-Menser代數(shù)大得多，它包含更多局部結(jié)構(gòu)的有關(guān)信息;當(dāng)（P和Q）-多項(xiàng)式結(jié)合方案是薄的，Leonard系統(tǒng)理論可以從代數(shù)角度分析這個(gè)結(jié)合方案的局部結(jié)構(gòu).
　　在參考文獻(xiàn)[25]中，Terwilliger給出了一些Leonard系統(tǒng)是薄的(P和Q)-多項(xiàng)式結(jié)合方案的例子.Johnson方案J

4、(N，D)(2D≤N)就是其中之一.設(shè)(X)=(X，{Ri}0≤i≤D)是Johnson方案J(N，D)(2D≤N)[2，第3章，第2節(jié)]:給定集合Ω(|Ω|=N)，且定義X=(ΩD)={x(∈)Ω||x|=D}，Ri(∈)(x，y)(→)|x∩y|=D-i.對(duì)于一個(gè)固定的基本點(diǎn)x0∈X，設(shè)T=T(x0)是(X)的Terwilliger代數(shù).設(shè)V=CX是關(guān)于T的標(biāo)準(zhǔn)模.因?yàn)門是半單代數(shù)且V是忠實(shí)的T-模，則在同構(gòu)的意義下，所有的不可約T

5、-模都將作為T-子模的形式出現(xiàn)在V中.設(shè)W是V的不可約T-子模.則由一個(gè)W可得到一個(gè)Leonard系統(tǒng)LS(W)，方法如下:不可約T-模W的同構(gòu)類由Leonard系統(tǒng)LS(W)的同構(gòu)類所確定，反之也成立[24].另外，Leonard系統(tǒng)LS(W)的同構(gòu)類由參數(shù)均是非負(fù)整數(shù)的有序三元組（v，μ，d）所確定[25，例6.1(1)]，其中(v，μ，d)滿足:0≤D-d/2≤v≤μ≤D-d≤D，d∈{D-2v,min{D-μ，N-D-2v}}.

6、在本篇論文中，我們將會(huì)介紹有序二元組（α，β），其中α，β是非負(fù)整數(shù)且滿足0≤α≤D/2,0≤β≤min{D,N-D/2}，0≤α+β≤D.并且我們建立了從三元組（v，μ，d）到二元組（α，β)的雙射.
　　三元組（v，μ，d）對(duì)于Leonard系統(tǒng)有一定的涵義.二元組(α，β)關(guān)于對(duì)稱群的表示也具有一定的涵義.三元組(v，μ，d)與二元組（α，β)之間的雙射搭建了組合與代數(shù)表示論之間的橋梁.
　　本篇論文的結(jié)構(gòu)如下:在第一