一些相容代數(shù)的雙代數(shù)結(jié)構(gòu).pdf

1、相容結(jié)構(gòu)是指一個線性空間上的兩個相同類型的代數(shù)結(jié)構(gòu),這兩個代數(shù)結(jié)構(gòu)對應(yīng)乘法的任意線性組合還構(gòu)成原來類型的代數(shù)結(jié)構(gòu).雙代數(shù)結(jié)構(gòu)是滿足一定“相容性”條件的一個代數(shù)結(jié)構(gòu)與一個余代數(shù)結(jié)構(gòu).本文主要研究以下內(nèi)容:相容李代數(shù),相容pre-李代數(shù),相容李2-代數(shù)以及它們的雙代數(shù)結(jié)構(gòu).
　　第一章緒論.首先介紹了本文的背景知識,然后闡述了本文所要研究的主要問題并簡要列出了一些主要結(jié)果.最后介紹了文中將會出現(xiàn)的一些符號和說明.
　　第二章主要

2、構(gòu)造一類相容李代數(shù).這類相容李代數(shù)具有一個非退化不變對稱雙線性型并且作為線性空間是其兩個迷向的相容李子代數(shù)的直和.它與相容李代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)Manin triple等價.而從相容李代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)Manin triple可以得到相容李代數(shù)的一個雙代數(shù)結(jié)構(gòu),即相容李雙代數(shù).本章研究了相容李雙代數(shù)的一些性質(zhì).特別地,研究了上邊緣相容李雙代數(shù)的理論,從中得到了相容李代數(shù)的經(jīng)典Yang-Baxter方程,它是兩個李代數(shù)的經(jīng)典Yang-Baxter方程的組合

3、.另外,本章也給出了相容李代數(shù)的經(jīng)典Yang-Baxter方程的一些結(jié)果.相容李代數(shù)的經(jīng)典Yang-Baxter方程的一個反對稱可逆解可以誘導(dǎo)它上面的一個非退化2-上循環(huán).具有非退化2-上循環(huán)的相容李代數(shù)上蘊(yùn)含著一個新的相容性代數(shù)結(jié)構(gòu)——相容pre-李代數(shù).本章還從相容pre-李代數(shù)構(gòu)造了相容李代數(shù)的經(jīng)典Yang-Baxter方程的一個反對稱解.最后,相容李雙代數(shù)的研究也可以放在I.Z.Golubchik和V.V.Sokolov在[28

4、]中構(gòu)造的李代數(shù)的經(jīng)典Yang-Baxter方程的非常數(shù)解的框架下,因此它可以看做是在可積系統(tǒng)中的一個應(yīng)用.
　　第三章主要研究相容pre-李代數(shù)的雙代數(shù).它是在討論相容paraka¨hler李代數(shù)時引入的.相容paraka¨hler李代數(shù)是一類特殊的相容李代數(shù),在這類相容李代數(shù)上存在一個非退化2-上循環(huán)并且作為線性空間是其兩個拉格朗日子代數(shù)的直和.相容paraka¨hler李代數(shù)等價于相容pre-李代數(shù)的一個雙代數(shù)結(jié)構(gòu),即相容p

5、re-李雙代數(shù).本章討論了上邊緣相容pre-李雙代數(shù)理論,從它得到了相容pre-李代數(shù)的經(jīng)典Yang-Baxter方程,它是兩個pre-李代數(shù)的經(jīng)典Yang-Baxter方程的組合.類似于相容李代數(shù)的經(jīng)典Yang-Baxter方程的討論,本章給出它的一些結(jié)果并構(gòu)造了相容pre-李代數(shù)的經(jīng)典Yang-Baxter方程的一個對稱解,還構(gòu)造了相容pre-李雙代數(shù)的經(jīng)典辛double.
　　第四章研究相容嚴(yán)格李2-雙代數(shù).相容李2-代數(shù)可

6、以看作是相容李代數(shù)的范疇化.相容嚴(yán)格李2-代數(shù)是一類特殊的相容李2-代數(shù),它可以看作是一個階化的線性空間上的兩個嚴(yán)格李2-代數(shù),這兩個嚴(yán)格李2-代數(shù)的任意線性組合還是一個嚴(yán)格李2-代數(shù).本章主要研究一類相容嚴(yán)格李2-代數(shù).這類相容嚴(yán)格李2-代數(shù)具有滿足特定性質(zhì)的非退化不變對稱雙線性型并且作為線性空間的復(fù)形是其兩個迷向的相容嚴(yán)格李2-代數(shù)的直和.它等價于相容嚴(yán)格李2-代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)Manin triple,而后者又等價于相容嚴(yán)格李2-代數(shù)的一

7、個雙代數(shù)結(jié)構(gòu),即相容嚴(yán)格李2-雙代數(shù).相容嚴(yán)格李2-雙代數(shù)是兩個嚴(yán)格李2-雙代數(shù),它們的任意線性組合還是嚴(yán)格李2-雙代數(shù).與相容李代數(shù)的研究類似,本章引入了相容嚴(yán)格李2-代數(shù)的嚴(yán)格表示,相容對以及Manin triple等概念.本文研究了相容嚴(yán)格李2-雙代數(shù)的一些性質(zhì).特別地,研究了上邊緣相容嚴(yán)格李2-雙代數(shù),得到了相容嚴(yán)格李2-代數(shù)的一個元素誘導(dǎo)上邊緣相容嚴(yán)格李2-雙代數(shù)的一個必要條件,結(jié)合從相容pre-李代數(shù)構(gòu)造的相容李代數(shù)的經(jīng)典Y