最強Orlicz-Pettis拓撲及最一般的Orlicz-Pettis型定理.pdf

1、本文主要在一個具有普遍意義的對偶系統(tǒng)(E，F(xiàn))中研究了Orlicz-Pettis定理和Orlicz-Pettis拓撲，得到了最強的Orlicz-Pettis拓撲和一個最一般的Orlicz-Pettis型定理.這個結論的產(chǎn)生具有非常重大的理論與實際意義：首先，它是幾十年來Orlicz-Pettis型定理的一個終極性結果，我們不但得到了最強的Orlicz-Pettis拓撲OP(E，F(xiàn))，而且還找到了生成拓撲OP(E，F(xiàn))的F的最大子集族FO

2、P(E，F(xiàn))，而使得余下的研究只能圍繞著F的哪一類特殊的子集族包含在最大子集族FOP(E，F(xiàn))中來進行；其次，我們的研究框架具有空前的普遍性，致使歷史上的各種Orlicz-Pettis型定理都成為了這個結論的特殊情形，而且許多其它著名的定理也成為它的推論，例如Vitali-Hahn-Saks-Nikodym定理、Graves-Ruess定理和Thomas定理等；另外，同我們所得的最強Orlicz-Pettis拓撲OP(E，F(xiàn))相比，Tw

3、eddle得到的Orlicz-Pettis拓撲τ(E，G”)和Dierolf得到的Orlicz-Pettis拓撲D只是拓撲OP(E，F(xiàn))在特殊框架下的兩個特殊情形，而且τ(E，G”)與D雖然都是局部凸空間中的Orlicz-Pettis拓撲，但是Tweddle和Dierolf都僅僅給出了其拓撲在各自意義下的最強性，而沒能夠指出E’或G”中的何種子集M使得當∞∑j=1xj子級數(shù)弱收斂時，級數(shù)∞∑j=1f(xj)關于f∈M一致收斂.事實上，生

4、成Tweddle拓撲和Dierolf拓撲的子集族都包含在我們的最大子集族FOP(E，F(xiàn))中.而弄清楚這個最大的子集族不僅有著明顯的理論意義，而且還有重要的實際意義，例如在測度系統(tǒng)(∑，ca(∑，G))中，一致地可列可加測度族的全體就相當于是M的全體.這也充分說明了在比線性對偶更加一般的框架下討論子級數(shù)收斂問題的必要性. 其次，在局部凸空間中建立了級數(shù)絕對收斂的定義，將原本只在賦范空間中有定義的級數(shù)的絕對收斂這一簡單概念進行了推廣

5、.這使得對級數(shù)絕對收斂的研究突破了范數(shù)的限制，對級數(shù)收斂理論來說具有重大意義.由于在有限維空間中，級數(shù)的絕對收斂、無條件收斂、子級數(shù)收斂和有界乘數(shù)收斂都是等價的，因而只有在無限維空間中去研究它們的關系才是必要的，而且這樣的研究也具有十分重要的理論和實際意義，例如，著名的Orlicz定理、Dvoretzky-Rogers定理和Rolewicz-Ryll-Nardzewski定理等就是對這幾種級數(shù)收斂關系的研究.本文將在局部凸空間中，對級數(shù)

6、的絕對收斂與有界乘數(shù)收斂的性質(zhì)及其關系進行深入地探討與研究，進而得到以下結果：在任意對偶(X，X’)中，存在一個可容許拓撲η(X，X’)使得，在(X，η(X，X’))上，有界乘數(shù)收斂級數(shù)都是絕對收斂的，但是當可容許拓撲τ嚴格強于η(X，X’)時，在(X，τ)中，一定存在級數(shù)有界乘數(shù)收斂，但不是絕對收斂的.這個結果的建立主要借助于李容錄的一致收斂引理和Antosik-Mikusinski基本矩陣定理. 另外，在已經(jīng)對級數(shù)的絕對收斂

7、概念進行了推廣的基礎之上，我們通過對絕對收斂級數(shù)的研究，并且借助于李容錄的一致收斂引理和Antosik-Mikusinski基本矩陣定理，得到了對偶中的一個關于絕對收斂級數(shù)的不變性定理，即當局部凸空間X序列弱完備時，在對偶(X，X’)中，存在一個X上的可容許極拓撲F(C)使得，F(xiàn)(C)與弱拓撲σ(X，X’)具有相同的絕對收斂級數(shù).這個結論在級數(shù)收斂理論中具有重要意義.因為作為對偶中的不變性質(zhì)，子級數(shù)收斂、無條件收斂和有界乘數(shù)收斂都曾經(jīng)被