非線性演化系統(tǒng)的行波解和漸近傳播速度.pdf

1、近三四十年來(lái)，非線性演化系統(tǒng)（特別是拋物型系統(tǒng)）的行波解與漸近傳播速度理論吸引了很多學(xué)者的關(guān)注。所謂行波解，是指隨著時(shí)間的推移，沿某個(gè)方向以恒定速度移動(dòng)但形狀不發(fā)生改變（或呈規(guī)律地變化）的一類(lèi)特別的解；而漸近傳播速度是上世紀(jì)七十年代新引入的概念，它是用來(lái)描述一類(lèi)初值（如具緊支集）的最終傳播速度。二者在種群生物學(xué)，傳染病學(xué)，化學(xué)，燃燒理論等自然科學(xué)中有十分重要的意義。近十年來(lái)，很多工作都集中在單穩(wěn)型和雙穩(wěn)型系統(tǒng)上，所謂單穩(wěn)型系統(tǒng)，是指其空

2、間齊性系統(tǒng)有兩個(gè)平衡態(tài)：一個(gè)穩(wěn)定，另一個(gè)不穩(wěn)定；所謂雙穩(wěn)型系統(tǒng)，是指其空間齊性系統(tǒng)有兩個(gè)有序且穩(wěn)定的平衡態(tài)，而二者之間其它的平衡態(tài)都是不穩(wěn)定的。目前，對(duì)單穩(wěn)型具有一定緊性的單調(diào)半流，已有比較一般的抽象理論。然而，對(duì)于單穩(wěn)型非單調(diào)的方程，雙穩(wěn)型單調(diào)半流，以及一些不具緊性的方程，還存在很多問(wèn)題有待解決。本文的研究主要集中在上述三類(lèi)演化系統(tǒng)。
　　首先研究單調(diào)但退化（即部分?jǐn)U散系數(shù)為零）的反應(yīng)擴(kuò)散方程組。此時(shí)，系統(tǒng)不再具有緊性。在單穩(wěn)情

3、形下，本文構(gòu)造了一對(duì)向量形式的上下解，再結(jié)合單調(diào)迭代的方法得到了行波解的存在性；在雙穩(wěn)情形下，本文利用擾動(dòng)后的非退化系統(tǒng)來(lái)逼近退化系統(tǒng)（也稱(chēng)粘性消去法），得到了行波解的存在性。上述兩個(gè)結(jié)果發(fā)展和補(bǔ)充了Volpert建立的關(guān)于反應(yīng)擴(kuò)散方程組的行波解理論。
　　其次研究?jī)深?lèi)單穩(wěn)型非單調(diào)的方程。利用構(gòu)造兩個(gè)輔助的單調(diào)方程夾住非單調(diào)方程的思想來(lái)研究漸近傳播速度和行波解的存在性與不存在性；而關(guān)于行波解的唯一性，本文先建立一個(gè)線性方程整體解的

4、結(jié)構(gòu)定理，然后借助于此定理得到波形函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處確切的衰減速度，進(jìn)而得到了唯一性。其中結(jié)構(gòu)定理也有其自身的用處。此外，唯一性的證明克服了已有方法的某些局限性。
　　最后研究雙穩(wěn)型單調(diào)半流。此部分首先給出雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)的一種新的解釋?zhuān)瑥亩鴮畏€(wěn)和雙穩(wěn)情形結(jié)合了起來(lái)，并引出了反向傳播這一幾乎必要的條件。此部分系統(tǒng)地得到了雙穩(wěn)型半流的行波解存在性，包括連續(xù)環(huán)境上的離散和連續(xù)時(shí)間的緊半流，離散環(huán)境上的離散和連續(xù)時(shí)間的緊半流，時(shí)間周期的緊半流，周