數(shù)論論文-二元一次不定方程

1、二元一次不定方程數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院摘 要:不定方程在歷史上有極其豐富的研究,文獻(xiàn)極其豐富 ，也留下很多經(jīng)典難題,主要研究二元一次不定方程有整數(shù)解的條件,以及利用輾轉(zhuǎn)相除法求出它的一切整數(shù)解.關(guān)鍵詞:輾轉(zhuǎn)相除法;整數(shù)解;最大公約數(shù)引言未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù),且對(duì)解有一定限制(比如要求解為正整數(shù)等)的方程.數(shù)論中最古老的分支之一.古希臘的丟番圖早在公元 3 世紀(jì)就開(kāi)始研究不定方程,因此常稱(chēng)不定方程為丟番圖方程.研究不定方程要解決三個(gè)問(wèn)題:

2、①判斷何時(shí)有解.②有解時(shí)決定解的個(gè)數(shù).③求出所有的解.中國(guó)是研究不定方程最早的國(guó)家,公元初的五家共井問(wèn)題就是一個(gè)不定方程組問(wèn)題,公元 5 世紀(jì)的《 張丘建算經(jīng)》中的百雞問(wèn)題標(biāo)志中國(guó)對(duì)不定方程理論有了系統(tǒng)研究.秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來(lái).百雞問(wèn)題說(shuō)：“雞翁一,直錢(qián)五,雞母一,直錢(qián)三,雞雛三,直錢(qián)一.百錢(qián)買(mǎi)百雞,問(wèn)雞翁、母、雛各幾何?”.設(shè) x,y,z 分別表雞翁、母、雛的個(gè)數(shù),則此問(wèn)題即為不定方程組的非負(fù)整數(shù)解 x,

3、y,z,這是一個(gè)三元不定方程組問(wèn)題.1 預(yù)備知識(shí)定理 定理 1 設(shè)二元一次不定方程ax+by=c (1)(其中 a,b,c 是整數(shù)且 a,b 都不是 0),有一整數(shù)解 x=x ,y=y ;又設(shè)(a,b)=d,a= a 0 0 1d,b=b ,則(1)的一切解可以表成 1而又有(b,r )=(a,b)=1,故方程 by +rx =r 有整數(shù)解. 1' ' ' 1設(shè) x=x ,y

4、=y 是 ax+by=c 的任一整數(shù)解,則 0 0y = =q -q x + . 0 bax c 0 ? ' 1 1 0 bx r r 0 1' 1 ?又因?yàn)?y ，q - q x 都是整數(shù)，所以 也是整數(shù). 0' 1 1 0 bx r r 0 1' 1 ?令 =y ， 則 x =x ，y = y 是 by +rx =r 的一個(gè)整數(shù)解，即 ax+by=c 的 bx r r 0 1' 1 ? 

5、9; 0'0' ' 0' ' ' 1任一整數(shù)解能寫(xiě)成下列形狀:x=x ,y= q -q x +y , ' ' 1 1' '其中 x ，y 是 by +rx =r 的某一整數(shù)解,反之,若 x ,y 是 by +rx =r 的任一正整 ' ' ' ' ' 1' ' ' ' ' 1數(shù)解

6、,則由 x=x ,y= q -q x +y 所求得的 x，y 是 ax+by=c 的一解. ' ' 1 1' '例 2 求 107x+37y=25 的一切整數(shù)解.解 由給定的方程得y= =-2x+ =-2x+y , 37107 25 x ?3733 25 x ? '其中 y = 應(yīng)該是整數(shù)，故得一新的不定方程 '3733 25 x ?37y +33x=25 （1） &#

7、39;又 x==-y +=-y +x , 3337 25 y ? '334 25 ' y ? ' '仿上令 x = ，又得一新的不定方程： '334 25 ' y ?33x +4y =25 （2） ' '又 y = =6-8x + =6-8x +y ， '433 25 ' x ? '41 ' x ? ' '