《對數(shù)與對數(shù)運算》

1、對數(shù)與對數(shù)運算,問題1：假設2012年我國國民生產(chǎn)總值為a億元，如果每年平均增長8%，那么，經(jīng)過多少年國民生產(chǎn)總值是2012年時的2倍？,,a(1+8%)x,∴1.08x=2,怎樣求出這個x?,析：,------a,------a(1+8%),-----a(1+8%)(1+8%)=a(1+8%)2,-----a(1+8%)2(1+8%)=a(1+8%)3,2012年生產(chǎn)總值,2013年生產(chǎn)總值,2014年生產(chǎn)總值,2015年生產(chǎn)總值,？

2、 ------ =2a,X年,……,,ab=N,,解出b,解出N,,,,,,指數(shù),底數(shù),冪,對數(shù),底數(shù),真數(shù),a>0且a≠1,N>0,b∈R,b∈R,a>0且a≠1,b= logaN,,,,,,,,,N>0,一般地，如果,,的b次冪等于N, 就是,,，那么數(shù) b叫做,以a為底 N的對數(shù)，記作,,a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做

3、真數(shù)。,定義：,練習： 1.將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式 (1)54=625 (2)2-6= (3)3a =27 (4)( )m =5.73,,,,,4=log5625,-6=log2(1/64),a =log327,m=log(1/3) 5.73,2.將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式(1)log 16=4(2)log2128=7(3)log10

4、0.01= -2(4)loge10=2.303,,,,,16= 4,128=27,0.01=10-2,10=e 2.303,,1,0,練習1：計算下列各式的值,思考:,有關性質：,⑴負數(shù)與零沒有對數(shù)（∵在指數(shù)式中 N > 0 ）,⑵,,,,,,,⑶對數(shù)恒等式,,,,,有意義嗎？,下面介紹兩種特殊對數(shù)：,,１．常用對數(shù)：我們將以10為底的對數(shù)　　　叫做常用對數(shù)，并記做　?。?２．自然對數(shù)：無理數(shù)e=2.71828…,以

5、e為底的對數(shù)　　　稱為自然對數(shù)，并記做,⑷常用對數(shù)：,我們通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)。,為了簡便,N的常用對數(shù),,簡記作lgN。,,,⑸自然對數(shù)：,在科學技術中常常使用以無理數(shù)e=2.71828……,為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫自然對數(shù)。,為了簡便，N的自然對數(shù),,簡記作lnN。,,,（6）底數(shù)a的取值范圍：,,真數(shù)N的取值范圍 :,,例2 求下列各式中x的值：,例3 計算下列各式:,(1) 解:,(2) 解:,(3) 解:,對

6、于冪的運算我們有三條運算法則.現(xiàn)在我們學習了對數(shù),那么對于對數(shù)之間的運算,又會有什么樣的運算性質呢?,冪的運算的三條法則:,,如果,證明：①設,由對數(shù)的定義可以得：,∴MN=,,,即證得,證明：②設,由對數(shù)的定義可以得：,∴,,,即證得,證明：③設,由對數(shù)的定義可以得：,∴,,,即證得,對于上面的每一條運算法則，都要注意只有當式子中所有的對數(shù)符號都有意義時，等式才成立．,其他重要公式1:,證明：設,由對數(shù)的定義可以得：,∴,,,即證得,

7、其他重要公式2:,證明：設,由對數(shù)的定義可以得：,即證得,這個公式叫做換底公式,其他重要公式3:,證明:由換底公式,取以b為底的對數(shù)得：,還可以變形,得,,例５用　　　　　　　　　表示下列各式：,例６計算下列各式：,練習、求下列各式的值：,(1),(2),(3),(4),證明：,例7 利用換底公式可得:,請利用同樣的方法證明:,例8 證明 .,例9 計算,(請記住),(請記住),計算