教案微分中值定理

1、[鍵入文字]西安交通工程學院《高等數(shù)學》教案17西安交通工程學院《高等數(shù)學》課程建設組時間月日星期課題3.1微分中值定理微分中值定理教學目的理解并會用羅爾定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。教學重點羅爾定理、拉格朗日定理的應用。教學難點羅爾定理、拉格朗日定理的應用。課型基礎課備課組備課組教法選擇講授教學過程教法運用及板書要點一、羅爾定理一、羅爾定理1.羅爾定理幾何意義：對于在上每一點都有不垂直于軸的切線，且兩端點][bax的連線與軸平

2、行的不間斷的曲線來說，至少存在一點C，使得其x)(xf切線平行于軸。xCAB從圖中可以看出：符合條件的點出現(xiàn)在最大值和最小值點，由此得到啟發(fā)證明羅爾定理。為應用方便，先介紹費馬（Fermat）引理費馬引理費馬引理設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義?并且在)(xf0x)(0xU處可導?如果對任意?有(或)?那么0x)(0xUx?)()(0xfxf?)()(0xfxf??0)(0?xf證明：不妨設時，（若，可以類似地)(0xUx?)()(0xfxf

3、?)()(0xfxf?ab1?2?xyo)(xfy?[鍵入文字]西安交通工程學院《高等數(shù)學》教案37西安交通工程學院《高等數(shù)學》課程建設組有.))31(1(1????0)(???f說明：說明：1若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足其結論可能不成立2使得定理成立的可能多于一個，也可能只有一個.?【例2】證明方程有且僅有一個小于1的正實根.0155???xx證明：證明：設則在上連續(xù)，且15)(5???xxxf)(xf]10[.3)1(1)0(

4、???ff由介值定理存在使即為方程的小于1的正實根.)10(0?x0)(0?xf0x設另有使因為在之間滿足羅)10(011xxx??.0)(1?xf)(xf10xx爾定理的條件所以至少存在一個（在之間）使得.?10xx0)(???f但矛盾所以為方程的唯一實根.)1(5)(4???xxf))10((0??x0x2、拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）中值定理）中值定理在羅爾定理中，第三個條件為(iii)，然而對一般的函數(shù)，)()(bfa

5、f?此條不滿足，現(xiàn)將該條件去掉，但仍保留前兩個條件，這樣，結論相應地要改變，這就是拉格朗日拉格朗日中值定理：定理定理2：若函數(shù)滿足：(i)在上連續(xù)；)(xf][ba(ii)在上可導；)(xf)(ba則在內(nèi)至少存在一點，)(ba?使得。abafbff????)()()(?即()()()()fbfafbax￠=若此時，還有，?？梢娏_爾中值定理是拉格拉格)()(bfaf?0)(????f朗日朗日中值定理的一個特殊情況，因而用羅爾中值定理來證明