畢業(yè)論文--微分中值定理及其應(yīng)用

1、<p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　題 目 微分中值定理及其應(yīng)用 </p><p>　　學(xué) 院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 </p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　姓

2、 名 </p><p>　　班 級(jí) </p><p>　　學(xué) 號(hào) </p><p>　　研究類型 應(yīng)用研究 </p><p>　　

3、指導(dǎo)教師 </p><p>　　提交日期 2013年5月18日 </p><p>　　微分中值定理及其應(yīng)用</p><p>　　摘 要 本文探討了微分中值定理之間內(nèi)在的聯(lián)系、幾何意義上的聯(lián)系。通過經(jīng)典實(shí)例，系統(tǒng)地給出了微分中值定理在證明不等式、求極限、證明某些不等式、討論方程根的存在性、

4、積分估值、級(jí)數(shù)收斂性等方面的廣泛應(yīng)用，有利于后續(xù)工作者的學(xué)習(xí)與參考。</p><p>　　關(guān)鍵詞 中值定理；聯(lián)系；應(yīng)用</p><p>　　Differential mean value theorem and its application</p><p>　　Abstract This paper discusses the relationship betwe

5、en the differential mean value theorem, the geometric meaning of intrinsic relation on. The classic example, systematically presents the differential mean value theorem in proving inequality, limit, prove some inequaliti

6、es, discuss the existing widely used, integral estimation, series convergence equation root, learning and reference for subsequent workers.</p><p>　　Key words Mean value theorem；connection；apply.</p>

7、<p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　0.引言1</b></p><p><b>　　1.預(yù)備知識(shí)2</b></p><p>　　2.微分中值定理的內(nèi)在聯(lián)系3</p><p>　　2.1三個(gè)中值定理之間的聯(lián)系3</p>

8、<p>　　2.2幾何意義上的相互聯(lián)系4</p><p>　　3.微分中值定理的應(yīng)用4</p><p>　　3.1 利用幾何意義解題6</p><p>　　3.2證明不等式和求極限7</p><p>　　3.3證明某些等式問題8</p><p>　　3.4討論方程根的問題10</p>

9、<p>　　3.5積分估值11</p><p>　　3.6級(jí)數(shù)收斂性12</p><p><b>　　4.結(jié)語13</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn) 14</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　

10、　微分中值定理及其應(yīng)用</p><p><b>　　0.引言</b></p><p>　　微分中值定理是微分學(xué)的基本定理,在數(shù)學(xué)分析中占有重要地位,是研究函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的整體性質(zhì)的有力工具.它包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,微分中值定理公式架起了溝通函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的橋梁,函數(shù)的許多重要性質(zhì)如單調(diào)性、極值點(diǎn)、凹凸性等均可由函數(shù)增量與自變量增量間的關(guān)系來表述

11、.由于函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是局部性質(zhì),只反映函數(shù)在這點(diǎn)近旁的性質(zhì),而實(shí)際研究中又常常要用函數(shù)全局性質(zhì),于是要從導(dǎo)數(shù)給出的局部性質(zhì)推出函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì),這就要利用微分中值定理來達(dá)到這個(gè)目的.</p><p><b>　　1.預(yù)備知識(shí)</b></p><p>　　通常所說的微分中值定理包括三個(gè)定理:羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理。</p><p&

12、gt;　　羅爾定理:如果函數(shù)滿足以下條件：①在區(qū)間上連續(xù)；②在內(nèi)可導(dǎo)；③；則至少存在一個(gè)，使得</p><p>　　拉格朗日定理:若函數(shù)在區(qū)間滿足以下條件：在上連續(xù);在內(nèi)可導(dǎo);則在中至少存在一個(gè)，使得成立.</p><p>　　柯西定理:設(shè)函數(shù)滿足以下條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；與在內(nèi)不同時(shí)為零，且，則存在，使得.</p><p>　　本文將討論微分中值定理

13、的內(nèi)在聯(lián)系,并闡述它的若干應(yīng)用,如利用微分中值定理的幾何意義解題,討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性、研究函數(shù)性態(tài)、證明不等式和求極限等.</p><p>　　微分中值定理的內(nèi)在聯(lián)系</p><p>　　我們知道,羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理.它們之間有著密切的聯(lián)系,拉格朗日中值定理是羅爾定理的廣,柯西中值定理是拉格朗日中

14、值定理的推廣.我們可以利用輔助函數(shù)法在羅爾定理基礎(chǔ)上推導(dǎo)出另外兩個(gè)定理,使它們更好地聯(lián)系起來.</p><p>　　2.1三個(gè)中值定理之間的聯(lián)系</p><p>　　定理:設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)，使得=0.</p><p><b>　　證明:作輔助函數(shù),</b></p><p>　　令

15、 =</p><p>　　由行列式的性質(zhì)即知.又顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)求導(dǎo)法則及羅爾中值定理可知,使得:</p><p>　　==0 證畢.</p><p>　　特別地:①若令就可得到羅爾定理的結(jié)論</p><p>　?、谌袅羁梢缘玫嚼窭嗜罩兄刀ɡ?lt;/p>

16、<p><b>　　=</b></p><p>　?、廴袅顒t有=0，從而可得柯西定理 </p><p>　　這樣三個(gè)中值定理就很好地聯(lián)系在一起,它特別用到輔助函數(shù)法,恰到好處地處理了三者的關(guān)系:羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.</p><p>　　2.2幾何意義上的相互聯(lián)系</p>

17、;<p>　　再?gòu)膸缀我饬x上闡述三個(gè)中值定理的聯(lián)系.首先看Lagrange定理的幾何解釋(弦線法).如圖1(a),假定可導(dǎo)函數(shù)的曲線上任一點(diǎn)的切線為T,將AB固定,讓切線的切點(diǎn)從A向B變動(dòng),可以發(fā)現(xiàn)總存在一條切線T,它與割線AB是平行的,這種平行性質(zhì)在高等數(shù)學(xué)中可用Lagrange定理來反映.Lagrange定理建立了函數(shù)在上平均變化率(整體性質(zhì))，與該函數(shù)在內(nèi)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)(局部性質(zhì))之間的聯(lián)系,即表明函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的平均

18、變化率等于函數(shù)在該區(qū)間上某一瞬時(shí)變化率,從而為利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)整體性質(zhì)問題提供了可能性.當(dāng)然,定理只指出了的存在性,沒有提供確定值的方法.</p><p>　　在Lagrange定理中,若兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等(圖1(b)),此時(shí)在曲線弧AB上至少有一點(diǎn),在該點(diǎn)處曲線切線是水平的,這正是Rolle定理的幾何解釋.</p><p>　　在Cauchy中值定理中,如果把圖1(c)中的曲線用參數(shù)方程

19、表示:,那么弦AB的斜率就是,而就是曲線上某點(diǎn)的切線斜率(圖1(c)),這樣Cauchy定理與Lagrange定理就有著相同的幾何解釋了：“在曲線上至少存在一條切線平行于端點(diǎn)的連線.”三個(gè)微分中值定理正是這一幾何特征在不同條件(主要是曲線方程的不同)下分析表述的結(jié)果,微分學(xué)三個(gè)中值定理由一條曲線串在一起,其內(nèi)在聯(lián)系清晰了.</p><p>　　3.微分中值定理的應(yīng)用</p><p>　　微

20、分中值定理是微分學(xué)的基本定理,在數(shù)學(xué)分析中占有重要地位,是研究函數(shù)在某個(gè)區(qū)間整體性的有力工具.它架起了溝通函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的橋梁,應(yīng)用十分廣泛.下面例舉幾個(gè)它在解一些較為典型的數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.</p><p>　　3.1 利用幾何意義解題</p><p>　　由上面可以得出Lagrange定理幾何意義處于特別重要的地位,另外兩個(gè)定理的幾何意義可由它改變條件而得到.下面著重利用Lagrang

21、e定理幾何意義(通常稱弦線法)來進(jìn)行一些題目的思考和解答.</p><p>　　例1 設(shè)是可微函數(shù),導(dǎo)函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增,若,.</p><p>　　求證:對(duì)于一切x,有.</p><p>　　證明:如圖2,作弦線AC,BC,利用拉格朗日定理,,，使得導(dǎo)數(shù),分別等于弦AC,BC的斜率,但因?yàn)閲?yán)格單調(diào)遞增,所以可以得到，</p><p>　　即有

22、弦AC的斜率小于BC的斜率. .</p><p>　　因而:.根據(jù)已知不等式整理得：. </p><p>　　3.2證明不等式和求極限</p><p>　　微分中值定理的核心是拉格朗日中值定理,羅爾定理是它的特例,柯西中值定理是它的推廣.由拉格朗日中值定理可得微分中值式:.</p><p><b>　

23、　例2 設(shè)，證明：.</b></p><p>　　證明: 對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理,得: （3.2.1）</p><p>　　設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，.所以單調(diào)遞減，從而，即，將它代入（3.2.1）式,故得.</p><p><b>　　例3 已知，試求.</b></p><p>　

24、　解：設(shè)，對(duì)在區(qū)間上用拉格朗日中值定理得: ，.</p><p>　　故 ，</p><p>　　當(dāng)時(shí),共有個(gè)不等式,將這個(gè)不等式相加得: ，</p><p>　　即： .</p><p>　　從而 .</p><p>　　由極限存在準(zhǔn)則知

25、 =.</p><p>　　上面求數(shù)列極限問題時(shí),主要用到了如輔助函數(shù)法、遞推法和累加法,關(guān)鍵是輔助函數(shù)的建立,所以在應(yīng)用微分中值定理時(shí),一要仔細(xì)觀察,適當(dāng)變換待證求的式子;二要認(rèn)真分析,巧妙構(gòu)造輔助函數(shù),抓住這兩點(diǎn)一般就可順利完成任務(wù).</p><p>　　3.3證明某些等式問題 </p><p>　　利用微分中值定理可以證明某些等式,這類問題多是以“存在使某等式

26、成立”形式出現(xiàn).</p><p>　　例4 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又在內(nèi)恒不為試證至少存在一點(diǎn)，使.</p><p>　　證明：作輔助函數(shù)，則在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，又，由羅爾定理,至少有一點(diǎn)，使，即.</p><p>　　例5 設(shè)，證明存在，使得.</p><p>　　證明：因?yàn)?，故令，，顯然和在上滿足中值定理得條件，應(yīng)用中值定理知存

27、在，使 . 故結(jié)論得證.</p><p>　　題型總結(jié):這類問題形式較為簡(jiǎn)單,考慮向中值定理的形式變形即可.</p><p>　　3.4討論方程根的問題</p><p>　　微分中值定理可用來判斷根的存在，特別是羅爾定理本身就是關(guān)于方程根存在的敘述.</p><p>　　例6 對(duì)于實(shí)數(shù)，又.</p><p>　　

28、試證：必有三個(gè)實(shí)根，且指出它們存在的區(qū)間.</p><p>　　證明：因?yàn)樵谏线B續(xù)、可導(dǎo),且對(duì)于區(qū)間分別應(yīng)用羅爾定理知</p><p><b>　　使</b></p><p>　　又為三次方程，其僅有三個(gè)根，故在內(nèi)各有一實(shí)根.</p><p>　　例7 為多項(xiàng)式的二重根的充要條件是同為與的根.</p>&l

29、t;p>　　證明：必要性 設(shè)為的二重根，則是多項(xiàng)式，于是故</p><p>　　充分性 若是、的根，則有多項(xiàng)式，使兩邊求導(dǎo)有故即是的根，則從而</p><p><b>　　即是的二重根.</b></p><p><b>　　3.5積分估值</b></p><p>　　例8 設(shè)在上連續(xù),且試證：

30、</p><p>　　證明：若不等式顯然成立.</p><p>　　若使得，在及上分別用拉格朗日中值定理有</p><p><b>　　從而</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　再利用，即得所證.</b></

31、p><p><b>　　3.6級(jí)數(shù)收斂性</b></p><p>　　例9 證正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　證明：作輔助函數(shù)則.當(dāng)時(shí)，在上用中值定理，有于是 由收斂，即得所證.</p><p><b>　　4.結(jié)語&

32、lt;/b></p><p>　　微分中值定理架起了溝通函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的橋梁,可用于計(jì)算、證明、判定等,靈活性較大,應(yīng)用中值定理解題時(shí)一般要遵循以下三個(gè)基本步驟:.根據(jù)所給問題的特點(diǎn),確定或構(gòu)造輔助函數(shù)與及相應(yīng)的區(qū)間驗(yàn)證與在上滿足中值定理的條件;應(yīng)用中值定理及已知條件解答問題.其中步驟是關(guān)鍵,通常也是難點(diǎn)所在;步驟b則比較容易;步驟c是綜合運(yùn)用能力的考驗(yàn).</p><p>　　以上僅

33、是微分中值定理應(yīng)用的一部分內(nèi)容,隨著研究的深入,將會(huì)得到更多有用的結(jié)論,微分中值定理必將會(huì)發(fā)揮更大的作用.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　朱智和.微分中值定理在解題中的若干應(yīng)用[J].紹興文理學(xué)報(bào).2009,29(10):113-115.</p><p>　　華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].北京:

34、高等教育出版社,2001:118-125.</p><p>　　王寶艷.微分中值定理的應(yīng)用[J].雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào),2004,21(20)59-61.</p><p>　　楊鴻忠，李麗.微分中值定理的應(yīng)用(二）[J].2012，28(02)144-145.</p><p>　　楊鴻忠.微分中值定理的應(yīng)用(一)[J].2011，27(08)144-145，</p