第一講-微分中值定理

1、第一講第一講微分中值定理微分中值定理教學(xué)目的教學(xué)目的使學(xué)生掌握羅爾定理、拉格朗日中值定理使學(xué)生掌握羅爾定理、拉格朗日中值定理了解柯西中值定理了解柯西中值定理并能應(yīng)用羅爾定理并能應(yīng)用羅爾定理拉格朗日中值定理及柯西中值定理證明和解格朗日中值定理及柯西中值定理證明和解決一些簡單問題決一些簡單問題教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)使學(xué)生深刻理解微分中值定理的實(shí)質(zhì)使學(xué)生深刻理解微分中值定理的實(shí)質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)拉格朗日中值定理的證明拉格朗日中值定理的證明教學(xué)學(xué)時(shí)教

2、學(xué)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)教學(xué)過程教學(xué)過程上一章我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念上一章我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念并討論了導(dǎo)數(shù)的并討論了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用計(jì)算方法學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用這一章我們來學(xué)習(xí)這一章我們來學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用首先學(xué)習(xí)微分中值定理首先學(xué)習(xí)微分中值定理他們是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用他們是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)的理論基礎(chǔ)微分中值定理包括微分中值定理包括:羅爾定理羅爾定理拉格朗拉格朗日中值定理和柯西中值定理日中值定理和柯西中值定理簡稱微分中值三定理簡稱微分

3、中值三定理一、羅爾定理一、羅爾定理我們首先來觀察一個(gè)圖形，見圖我們首先來觀察一個(gè)圖形，見圖1.1.設(shè)圖設(shè)圖1中曲線弧中曲線弧AAB是函數(shù)是函數(shù))(xfy?])[(bax?的圖的圖形這是一條連續(xù)的曲線弧，除端點(diǎn)外處處具有不垂形這是一條連續(xù)的曲線弧，除端點(diǎn)外處處具有不垂論，顯然應(yīng)該考慮使用導(dǎo)數(shù)的定義論，顯然應(yīng)該考慮使用導(dǎo)數(shù)的定義不妨設(shè)不妨設(shè)0()xUx?時(shí)，時(shí)，????0xfxf?于是，對(duì)于于是，對(duì)于00()xxUx???，有，有????0

4、0fxxfx???，從而當(dāng)，從而當(dāng)0??x時(shí)，時(shí)，????000?????xxfxxf；當(dāng)0??x時(shí)，時(shí)，????000?????xxfxxf由于函數(shù)由于函數(shù)??xf在0x處可導(dǎo)，上述兩式的左端當(dāng)處可導(dǎo)，上述兩式的左端當(dāng)0??x時(shí)極限皆存在，因此由極限的時(shí)極限皆存在，因此由極限的保號(hào)性保號(hào)性知????????0lim00000???????????xxfxxfxfxfx，????????0lim00000??????????xxfxxf

5、xfxfx所以，所以，??00?xf類似地可證明類似地可證明0()xUx?時(shí)，時(shí)，????0xfxf?的情形情形通常稱導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)通常稱導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)(或穩(wěn)定或穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn)點(diǎn)、臨界點(diǎn))費(fèi)馬定理告訴我們，若函數(shù)在費(fèi)馬定理告訴我們，若函數(shù)在0x點(diǎn)可導(dǎo)，且函數(shù)點(diǎn)可導(dǎo)，且函數(shù)在0x點(diǎn)處取得了局部的最大值或最小值，則函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)處取得了局部的最大值或最小值，則函數(shù)在點(diǎn)0x處的導(dǎo)數(shù)一定為零，即處的導(dǎo)數(shù)一定為零，即??00?