幾類常差分方程精確解的研究.pdf

1、差分方程研究的主要內(nèi)容包括兩個(gè)問題：差分方程的精確解和方程解的定性分析。其中對于解的定性分析研究，一般以差分模型為基礎(chǔ)，具體討論差分方程的穩(wěn)定性、有界性、振動(dòng)性、漸近性、周期性和概周期性等問題，相關(guān)的研究在過去幾十年中取得了許多重要的成果。然而對于差分方程精確解的研究則相對滯后。盡管許多學(xué)者在尋找差分方程的精確解方面取得了一定的進(jìn)展，但仍有許多結(jié)論還不太成熟：在線性若分方程中，有些論證還不是很完善，一般函數(shù)的和分不易得到；常系數(shù)齊次線性

2、方程的多重特征根所對應(yīng)特解的線性無關(guān)性并非顯然；變系數(shù)線性方程的主要結(jié)論還停留在解的結(jié)構(gòu)與形式上，缺乏一個(gè)普適性的方法；在非線性差分方程中，即使是一階的離散黎卡提方程，也很難得到精確解。 本文重點(diǎn)討論了定義在整數(shù)集Z或它的子集D上的幾類常差分方程精確求解方法與解的顯式表達(dá)。所得的主要結(jié)論如下： I)對于線性齊次差分方程 Eny(k)+a1(k)En-1y(k)+…+an-1(k)Ey(k)+an(k)y(k)

3、=0(1) 可以得到方程(1)的解結(jié)構(gòu)，指出其通解為y(k)=c1y1(k)+c2y2(k)+…+cnyn(k)的形式，其中c1，c2，…，cn是獨(dú)立的任意常數(shù)，y1(k)，y2(k)，…，yn(k)是方程(1)的一個(gè)基本解組。通過運(yùn)用參數(shù)待定法(阮炯，2002)，論證了常系數(shù)線性齊次差分方程的多重特征根所對應(yīng)的全部特解存在線性無關(guān)性，并推導(dǎo)出該差分方程的通解表達(dá)式。 II)對于線性非齊次差分方程 Eny(k

4、)+a1(k)En-1y(k)+…+an-1(k)Ey(k)+an(k)y(k)=f(k)(2) 證明了方程(2)的通解等于它的一個(gè)特解與相應(yīng)的齊次方程(1)的通解之和。如果已知齊次方程的一個(gè)基本解組，可運(yùn)用常數(shù)變異法與函數(shù)和分計(jì)算，得到非齊次方程的一個(gè)特解的形式表達(dá)。 1.對于常系數(shù)線性非齊次差分方程，利用特征函數(shù)法(李自珍，龔東山，2009)得到非齊次項(xiàng).廠(七)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的乘積、

5、對數(shù)函數(shù)以及它們的線性組合時(shí)的公式化特解。該方法簡便易行，克服了常數(shù)變異法(Paul Mason Batchelder，1927)、比較系數(shù)法(Saber Elaydi，2005)及拉普拉斯變換法(張廣，張高英，2001)等傳統(tǒng)方法計(jì)算工作量過人的缺陷，且特解形式非常直觀。 2.對于幾類可精確求解的變系數(shù)線性差分方程，利用構(gòu)造函數(shù)法，將某些變系數(shù)方程化為常系數(shù)差分方程；通過引入變上限定和分，給出了一階變系數(shù)線性差分方程的通解：運(yùn)

6、用函數(shù)積分法，得到了系數(shù)為線性函數(shù)時(shí)方程的通解；利用觀察法找到方程的一個(gè)特解，并以此特解為基礎(chǔ)，得出二階變系數(shù)線性齊次方程的通解；借助降階法，當(dāng)差分方程的系數(shù)函數(shù)滿足一定條件時(shí)，將復(fù)合差分方程問題化成若干個(gè)一階變系數(shù)線性差分方程的求解問題。 III)對于線性差分方程組得到了該方程組有解的一個(gè)充要條件，加強(qiáng)了王聯(lián)(1991)關(guān)于一階線性差分方程組與高階線性差分方程同解的充分性結(jié)論，完善了線性差分方程精確解的理論體系，并利用線性代