幾何造型中的細(xì)分方法與T網(wǎng)格上的樣條空間.pdf

1、細(xì)分是CAGD中一種重要的造型方法。細(xì)分最初只是樣條求值和求交的有效工具，如deCasteljau算法、Oslo算法[Cohen1980]和Boehm細(xì)分[Boehm1980]等。直到1975年，Chaikin[Chaikin1974]提出一種生成二次B樣條曲線的快速算法，細(xì)分方法才引起圖形界和造型界的關(guān)注。1978年，Catmull和Clark[Catmull1978]與Doo和Sabin[Doo1978]將雙三次B樣條曲面和雙二次B

2、樣條曲面的細(xì)分算法推廣到任意拓?fù)渚W(wǎng)格上。自此，細(xì)分才成為一種獨(dú)立的造型方法。而樣條函數(shù)的可分性，又使得樣條一直是構(gòu)造細(xì)分格式的基礎(chǔ)?？梢姌訔l函數(shù)和細(xì)分方法的研究和發(fā)展是緊密聯(lián)系在一起的。 收斂性和光滑性是細(xì)分格式理論研究的基本問題。本文在Romani[Romani2003]提出的單變量均勻靜態(tài)細(xì)分格式Ck連續(xù)的充要條件基礎(chǔ)上，分析了已有的一些含單參數(shù)的單變量插值細(xì)分格式，給出了各階連續(xù)時(shí)參數(shù)的取值范圍。首次指出了Weissman

3、[Weissman1990]的六點(diǎn)二重插值格式可以達(dá)到Ca連續(xù)。同時(shí)構(gòu)造了一種新的C3連續(xù)的六點(diǎn)三重插值細(xì)分格式，和六點(diǎn)二重插值格式相比，新的格式高一階精度且支集更小。 一般說來，基于樣條的細(xì)分格式都是從箱樣條推導(dǎo)出來的。本文基于Conti和Jetter[Conti2000]提出的四方向S13非箱樣條，給出了一種新的C1連續(xù)的曲面細(xì)分格式。而且在除了價(jià)為3的奇異點(diǎn)附近外，極限曲面是曲率有界的。格式既可以看作一種四方向格式，也可以

4、看成一作特殊的四邊形格式。和傳統(tǒng)的四邊形格式相比，由于引入了輔助的面控制點(diǎn)，我們的格式在形狀控制上更為靈活和簡單。Sederberg等人[Sederberg2003]提出的T-NURCCs是NURBS曲面和Catmull-Clark細(xì)分曲面的推廣。由于控制網(wǎng)格中可以存在T結(jié)點(diǎn)，T-NURCCs允許真正的局部細(xì)分。T-NURCCs的理論基礎(chǔ)是定義在T網(wǎng)格上的點(diǎn)樣條-T樣條。但由于T樣條在每個(gè)網(wǎng)格胞腔上是一個(gè)分片多項(xiàng)式，使得T-NURCCs

5、的局部細(xì)分很大程度上依賴于網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)，且混合函數(shù)是否能構(gòu)成T樣條空間的一組基也是一個(gè)未決問題。鄧建松等人[Deng2004]限制樣條在T網(wǎng)格的每個(gè)胞腔上是一個(gè)張量積多項(xiàng)式且跨邊界時(shí)滿足一定的光滑性，提出了T網(wǎng)格上樣條函數(shù)的概念。和T樣條一樣，T網(wǎng)格上樣條函數(shù)很有可能在細(xì)分理論中扮演重要角色。但該理論還是處于起步階段，因此本文只對T網(wǎng)格上樣條空間的維數(shù)進(jìn)行了研究。通過引入內(nèi)線和內(nèi)線協(xié)調(diào)條件等概念，我們用光滑余因子方法重新給出了規(guī)則T網(wǎng)格上