帶幾何約束的細(xì)分曲線曲面與細(xì)分參數(shù)化.pdf

1、隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及和應(yīng)用的日益廣泛，細(xì)分方法在近年來已經(jīng)成為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)(CG)領(lǐng)域內(nèi)的一個(gè)國際研究熱點(diǎn)．近三十年來已有多種細(xì)分方法被相繼提出，然而大多數(shù)細(xì)分方法難以控制極限曲線曲面的形狀與位置，不能滿足帶約束條件的幾何形狀設(shè)計(jì)與精密機(jī)械設(shè)計(jì)的要求．為此，本文討論了帶幾何約束條件的細(xì)分曲線曲面設(shè)計(jì)問題，通過控制松弛參數(shù)的值使極限曲線滿足給定的弧長要求；局部地修改細(xì)分規(guī)則使極限曲線曲面滿足局部插值的要求．并基于

2、細(xì)分曲面的逼近性質(zhì)給出了一種快速有效的曲面參數(shù)化方法． 本文首先回顧了細(xì)分造型方法的發(fā)展概況與歷史，然后對(duì)細(xì)分領(lǐng)域內(nèi)多方面的國際研究成果及其應(yīng)用進(jìn)行了評(píng)述．介紹了細(xì)分的連續(xù)性分析方面的理論成果，并對(duì)幾種常見的細(xì)分方法，特別是本文工作中經(jīng)常用到的四種四點(diǎn)逼近細(xì)分方法進(jìn)行了描述．在實(shí)際的工業(yè)產(chǎn)品外形設(shè)計(jì)中，常常要求滿足若干幾何或物理的約束條件，例如飛機(jī)的進(jìn)氣管道需要滿足面積的要求，飛機(jī)、船舶的表面有流體力學(xué)方面的要求，甚至還要考慮美

3、學(xué)．在計(jì)算機(jī)動(dòng)畫中，為了真實(shí)自然地模擬物體變形，應(yīng)盡可能地保持物體骨架的長度不變．本文針對(duì)四種新近提出的四點(diǎn)逼近細(xì)分方法，抓住松弛參數(shù)對(duì)極限曲線的調(diào)節(jié)作用，討論了帶弧長約束的細(xì)分曲線設(shè)計(jì)問題．首先給出了弧長約束的細(xì)分曲線設(shè)計(jì)問題的解存在的一個(gè)充分條件．并將四種四點(diǎn)逼近細(xì)分方法推廣到非靜態(tài)的細(xì)分模式，給出了非靜態(tài)四點(diǎn)逼近細(xì)分C<'1>光滑的充分條件．針對(duì)弧長約束的細(xì)分曲線設(shè)計(jì)問題，發(fā)現(xiàn)了退化與強(qiáng)退化的控制多邊形，以及(強(qiáng))退化控制多邊形之

4、間的遞推關(guān)系．利用弧長約束的曲線細(xì)分方法，給出了一種生成精確圓周的算法，使得旋轉(zhuǎn)面的離散設(shè)計(jì)變得更加簡單． 根據(jù)細(xì)分曲線曲面與控制網(wǎng)格的關(guān)系。細(xì)分方法可以分為兩類：插值細(xì)分與逼近細(xì)分．對(duì)于插值細(xì)分方法，由于每一步細(xì)分都保留舊一層網(wǎng)格的頂點(diǎn)，對(duì)于有擾動(dòng)的初始數(shù)據(jù)會(huì)產(chǎn)生不光順的曲線曲面．因此幾何造型中常常采用逼近型的細(xì)分方法．但是機(jī)械設(shè)計(jì)等工程中的曲線曲面設(shè)計(jì)通常有局部插值的要求，因此第三種四點(diǎn)逼近細(xì)分的基礎(chǔ)上討論了帶局部插值約束條

5、件的四點(diǎn)逼近細(xì)分方法(稱為修改的四點(diǎn)逼近細(xì)分)．類似于NURBS曲線具有端點(diǎn)插值的性質(zhì)，修改的四點(diǎn)逼近細(xì)分可以插值任何一個(gè)初始控制頂點(diǎn)．除了被插值點(diǎn)外，修改的四點(diǎn)逼近細(xì)分方法具有C<'2>光滑度，而在被插值點(diǎn)處可達(dá)C<'1>光滑．利用修改的四點(diǎn)逼近細(xì)分方法，提出了一種細(xì)分曲線或曲面的G<'1>拼接條件．能夠處理任意拓?fù)漕愋偷木W(wǎng)格是細(xì)分方法的一大優(yōu)點(diǎn)，本文將第三種四點(diǎn)逼近細(xì)分格式推廣到了能夠處理任意拓?fù)渚W(wǎng)格的曲面細(xì)分格式．這種新的細(xì)分格式

6、在正規(guī)點(diǎn)處為C<'2>光滑，在奇異點(diǎn)處達(dá)到C<'1>光滑．而且還可以通過調(diào)節(jié)松弛參數(shù)來調(diào)整極限曲面的形狀．特別地，當(dāng)松弛參數(shù)取值為0時(shí)、新的曲面細(xì)分格式就是著名的Catmull-Clark細(xì)分格式<'[5]>．在新的逼近曲面細(xì)分格式的基礎(chǔ)上，本文提出了能夠超限插值于給定的C<'1>光滑參數(shù)曲線的細(xì)分方法．極限曲面在被插值曲線和奇異點(diǎn)上為C<'1>光滑，其它位置為C<'2>光滑．區(qū)別于已有的局部插值細(xì)分方法，該方法既可以在曲面邊界上也可以

7、在曲面內(nèi)部插值于一條任意給定的C<'1>光滑的參數(shù)曲線．三角網(wǎng)格曲面參數(shù)化以其在紋理映射技術(shù)、散亂數(shù)據(jù)擬和、多尺度網(wǎng)格編輯等方面的重要應(yīng)用而成為CAGD中研究的熱點(diǎn)問題． 本文中，利用細(xì)分曲面的逼近性質(zhì)，給出了一種新的基于細(xì)分曲面逼近的三角網(wǎng)格曲面片的參數(shù)化方法．首先證明了第三種四點(diǎn)逼近細(xì)分方法可以逼近-C<'2>光滑的曲線到二階精度，這與經(jīng)典的三次B-樣條細(xì)分，四點(diǎn)插值細(xì)分<'[6]>具有相同的逼近階．然后給出了一個(gè)細(xì)分曲面片

8、的逼近算法，極限曲面由Catmull-Clark細(xì)分格式、張量積形式的四點(diǎn)插值細(xì)分和修改的四點(diǎn)逼近細(xì)分方法產(chǎn)生．?dāng)?shù)值實(shí)驗(yàn)表明，修改的四點(diǎn)逼近細(xì)分方法生成的極限曲面在。Hausdorff度量下可以更好地逼近三角網(wǎng)格曲面．對(duì)一個(gè)三角網(wǎng)格曲面片，首先計(jì)算出充分逼近它的細(xì)分曲面，然后對(duì)每一個(gè)三角網(wǎng)格點(diǎn)，在細(xì)分曲面上搜索Hausdorff度量下距離最近的點(diǎn)，用該點(diǎn)的自然參數(shù)作為三角網(wǎng)格頂點(diǎn)上的參數(shù)值．該方法可以看作是曲線累加弦長參數(shù)化的推廣，其效