帶約束的曲線曲面逼近算法的研究.pdf

1、Bezier曲線和曲面是CAD/CAM系統(tǒng)中廣泛使用的造型工具.參數(shù)曲線和曲面的降階逼近已經(jīng)成為CAGD領(lǐng)域的一個熱點(diǎn)研究問題,它主要研究用低次的形式來近似逼近給定次數(shù)的曲線或曲面.降階逼近在幾何設(shè)計上有很多的應(yīng)用,如數(shù)據(jù)交換、數(shù)據(jù)樂縮和數(shù)據(jù)比較等.本文圍繞著CAGD中Bezier曲線和三角Bezier曲面的降階逼近問題進(jìn)行了深入的研究,其主要成果及創(chuàng)新點(diǎn)如下。 首先,傳統(tǒng)的降階方法都只考慮了曲線的參數(shù)連續(xù),而我們利用曲線的幾何

2、信息來研究逼近問題,并首次引入了G2連續(xù)的約束.因此,曲線在端點(diǎn)的位置、切向和曲率大小在降階前后能夠保持一致.然后,我們提出了一個全新的方法來解決Bezier曲線在L2范數(shù)下的最佳逼近問題,它可以通過最小化曲線的L2誤差這一目標(biāo)函數(shù)而得到.為了避免近似曲線在端點(diǎn)附近出現(xiàn)奇異性問題,我們在目標(biāo)函數(shù)里加入了修正項(xiàng).此外,對于G1連續(xù)約束這一特殊情形,我們提出了另外一種基于二次規(guī)劃方法的新算法,并用線性約束來滿足切向在端點(diǎn)的一致性。此時的逼近

3、問題就轉(zhuǎn)變成一個帶線性約束關(guān)于兩個參數(shù)的二次規(guī)劃問題.我們可以應(yīng)用新算法使近似曲線的參數(shù)化更加接近于弧長參數(shù)化。 其次,區(qū)間[0,1]上的多項(xiàng)式曲線可以表示成不同基的形式,如Bernstein和第二類Chebyshev多項(xiàng)式的形式.我們給出了Bernstein基和第二類Chebyshev基之間的變換矩陣,通過它們能實(shí)現(xiàn)Bernstein系數(shù)和Chebyshev系數(shù)的轉(zhuǎn)換.接著,我們分析了基變換的穩(wěn)定性,結(jié)論是:Chebyshev

4、-Bernstein基變換矩陣的l1和l∞條件數(shù)隨著次數(shù)n的增長速度遠(yuǎn)小于power-Bernstein基變換的情形,并且速度很接近(稍快于)Legendre-Bernstein基變換的情形,所以也是良態(tài)的。利用基變換矩陣,我們提出Bezier曲線在加權(quán)t-t2平方范數(shù)下最佳的降多階逼近方法.并將它推廣到保端點(diǎn)r階和s階連續(xù)(r,s≥0)的情形,盡管不是最佳的,但是提供了一個很好的近似。該方法具有O(n2)的計算復(fù)雜度.我們建議對次數(shù)過

5、高的曲線不要使用基于基變換的降階算法,因?yàn)榇藭r這類方法很可能是不穩(wěn)定的.另外,我們還估計了逼近的L1誤差的上界,它是后驗(yàn)的。 最后,對于給定一張n次三角Bezier曲面,我們研究了帶邊界約束的用更低次數(shù)為m的三角Bezier曲面來近似逼近它.提出對曲面的三個角點(diǎn)進(jìn)行約束,使得邊界曲線在每個端點(diǎn)能保持Cα連續(xù).利用約束最小二乘法最小化曲面的l2和L2距離,我們提出兩種逼近算法來得到降階后曲面控制網(wǎng)格的矩陣表示。這兩種方法都能應(yīng)用于