不確定線性互補(bǔ)問(wèn)題的魯棒解.pdf

1、本文研究不確定線性互補(bǔ)闖題，我們采用魯棒優(yōu)化技術(shù)探討當(dāng)輸入數(shù)據(jù)元素為不精確或不確定，屬于某一不確定集的線性互補(bǔ)問(wèn)題的求解以及魯棒解的存在性等性質(zhì)．不確定線性互補(bǔ)問(wèn)題是數(shù)學(xué)規(guī)劃中的一個(gè)全新領(lǐng)域，它與互補(bǔ)理論、魯棒優(yōu)化技術(shù)以及隨機(jī)線性互補(bǔ)問(wèn)題等數(shù)學(xué)分支緊密相聯(lián)，并在科技和經(jīng)濟(jì)方面有著廣泛應(yīng)用，是一個(gè)十分吸引人的研究課題． 互補(bǔ)問(wèn)題是運(yùn)籌學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)交叉研究領(lǐng)域．作為一類新的數(shù)學(xué)模型，互補(bǔ)問(wèn)題首先是由著名運(yùn)籌學(xué)家、數(shù)學(xué)規(guī)劃的創(chuàng)始

2、人G．B．Dantzig和他的學(xué)生R．W．Cottle于1963年提出，并很快引起了當(dāng)時(shí)運(yùn)籌學(xué)界和應(yīng)用數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注和濃厚興趣，許多人參與了這類問(wèn)題的研究．由于與最優(yōu)化、變分不等式、平衡問(wèn)題、對(duì)策論、不動(dòng)點(diǎn)理論等分支的緊密聯(lián)系，以及在力學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)、交通等許多實(shí)際部門的廣泛應(yīng)用，互補(bǔ)問(wèn)題越來(lái)越顯示其重要性，這激勵(lì)了人們對(duì)其理論與算法的進(jìn)一步研究，出現(xiàn)了20世紀(jì)90年代以來(lái)的研究高潮．在這十余年的時(shí)間里，人們不僅改進(jìn)和豐富了互補(bǔ)問(wèn)題的

3、理論研究，而且還提出了多種有效算法。 但是，在幾乎所有的文獻(xiàn)中，互補(bǔ)問(wèn)題模型，均是以確定性問(wèn)題出現(xiàn)，即人們認(rèn)為輸入的數(shù)據(jù)是精確已知的，等于某一額定值．然而，我們知道，在許多實(shí)際情況中，一些數(shù)據(jù)是很難已知或精確測(cè)量的．如果我們忽視數(shù)據(jù)的不精確性或不確定性，就可能出現(xiàn)約束條件被違背，由額定數(shù)據(jù)而獲得的最優(yōu)解不再是最優(yōu)的，甚至是不可行的情況．因此，我們?cè)谘芯炕パa(bǔ)問(wèn)題的同時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮到輸入數(shù)據(jù)元素的不確定性． 在本文中，我們主要

4、探討不同不確定集下的線性互補(bǔ)問(wèn)題．目前，在此方面，唯一可借鑒的研究來(lái)源于Masao Fakushima和Xiaojun Chen(文獻(xiàn)[231)，Masao Fukushima和Xiaojun Chen是以隨機(jī)規(guī)劃的角度出發(fā)，探討不確定線性互補(bǔ)問(wèn)題．但是，隨機(jī)規(guī)劃處理不確定問(wèn)題，具有必須已知不確定數(shù)據(jù)的隨機(jī)概率分布，以及它允許解違反約束條件，從而不能保證某些硬性約束成立等特點(diǎn)．鑒于此，我們采用魯棒優(yōu)化技術(shù)--目前處理不確定問(wèn)題十分流行的

5、一類技術(shù)，進(jìn)行研究．在第二章中，我們先引入了不確定線性互補(bǔ)問(wèn)題魯棒解的概念．而且，我們證明：如果不確定二次規(guī)劃問(wèn)題的robust counterpart，這一魯棒優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解存在x<'*>，x<'*> ∈R<'n>，并且最優(yōu)值為O，那么礦就是不確定線性互補(bǔ)問(wèn)題的魯棒解．由此，我們得到了一種求解不確定線性互補(bǔ)問(wèn)題的方法：將半無(wú)限規(guī)劃模型robust counter-part轉(zhuǎn)化為一有限的顯示的優(yōu)化問(wèn)題．然后，令優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)值為零，從

6、而得到不確定線性互補(bǔ)問(wèn)題魯棒解的充要條件．根據(jù)以上方法，我們圍繞著不確定集為未知有界的、隨機(jī)對(duì)稱分布、簡(jiǎn)單橢球、以及有限個(gè)橢球的交這四種典型形式展開(kāi)了對(duì)不確定線性互補(bǔ)問(wèn)題的討論． 首先，第二章的第二節(jié)，我們討論未知有界不確定集下的線性互補(bǔ)問(wèn)題．我們利用魯棒理論：無(wú)論輸入數(shù)據(jù)元素在不確定集中的真正取值是什么，約束條件必須滿足這一特點(diǎn)，把魯棒優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為一二次規(guī)劃問(wèn)題，從而得到不確定線性互補(bǔ)問(wèn)題魯棒解的充要條件，即：不確定集U為未

7、知有界時(shí)，x為不確定線性互補(bǔ)問(wèn)題的魯棒解當(dāng)且僅當(dāng)x滿足不等式組(2.9)．并在此基礎(chǔ)上，我們通過(guò)構(gòu)造下標(biāo)集合I和引入分塊矩陣類Ψ，將其轉(zhuǎn)化為一類線性互補(bǔ)問(wèn)題，借助于已有的互補(bǔ)理論，我們探討了不確定線性互補(bǔ)問(wèn)題的可行性、魯棒解的存在性，從而得到了一些新的結(jié)果． 第二章的最后一節(jié)，我們討論當(dāng)不確定集為隨機(jī)對(duì)稱分布時(shí)，線性互補(bǔ)問(wèn)題的求解．與前一節(jié)方法的不同之處在于不確定集中含有隨機(jī)變量，所以，對(duì)于約束條件，應(yīng)從以往確定性的滿足轉(zhuǎn)變?yōu)樵?/p>

8、概率意義下的滿足．由此，我們引入不確定線性互補(bǔ)問(wèn)題almost reliable魯棒解的概念，并得到了x為almost reliable魯棒解的充要條件． 第三章為橢球不確定集下的線性互補(bǔ)問(wèn)題．橢球不確定集在魯棒優(yōu)化理論中具有十分重要的地位．在本節(jié)中，我們利用著名的S-lemma將半無(wú)限規(guī)劃模型robust counterpart轉(zhuǎn)化為一半定規(guī)劃問(wèn)題，并且我們推出，如果z可以擴(kuò)展為一非線性互補(bǔ)問(wèn)題的解，則x是不確定線性互補(bǔ)問(wèn)題的