幾類非線性發(fā)展方程的顯式解.pdf

1、本文運(yùn)用函數(shù)變換法及李群方法，研究了幾類具有重要物理背景的非線性發(fā)展方程.在已有基礎(chǔ)上得到了方程新的顯式解，包括非行波解、孤立波解和相似解等，并討論了部分方程的群分類和守恒律問(wèn)題. 在第一章中，主要研究了長(zhǎng)水波近似方程組和協(xié)變Boussinesq方程組.利用擴(kuò)展(推廣)的齊次平衡法，得到兩類方程組的自Backlund變換、非行波解和n-共振平面孤立波解，這些結(jié)果是全新的.與齊次平衡法不同的是，在擴(kuò)展的齊次平衡法中引入了方程的已知

2、解，這極大豐富了齊次平衡法的應(yīng)用，可尋求方程的自Backlund變換，獲得方程豐富的顯式解. 在第二章中，通過(guò)選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)變換，在系數(shù)滿足一定約束條件時(shí)，將變系數(shù)Schrodinger方程約化為常微分方程.通過(guò)求解常微分方程較系統(tǒng)地得到變系數(shù)Schrodinger方程的亮孤子解、暗孤子解和橢圓周期解.由本章結(jié)果可以看出方程孤子解的位相、速度和寬度隨時(shí)間變化而變化. 在第三章中，討論了描述等離子體中的弱非線性離子聲波現(xiàn)象

3、的(2+1)-維Zakharov-Kuznetsov型方程.首先應(yīng)用直接對(duì)稱方法求得一類廣義Zakharov-Kuznetsov方程的兩種對(duì)稱，進(jìn)而得到方程的約化和顯式解，推廣了已有文獻(xiàn)中的結(jié)論；其次提出一種尋找對(duì)稱的新方法—相容性方法.利用相容性方法得到變系數(shù)Zakharov-Kuznetsov方程的四類對(duì)稱和相應(yīng)不變變換群(對(duì)稱群)，并得到方程的約化和新相似解(這些解由Airy函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)成).與非經(jīng)典李群方法相比較，相容性方法最

4、大的優(yōu)點(diǎn)是直接簡(jiǎn)便，省去大量繁雜的計(jì)算.應(yīng)用相容性方法可求解其它非線性發(fā)展方程. 在第四章中，運(yùn)用經(jīng)典李群方法和相容性方法分別討論了變系數(shù)Burgers方程的群分類和(3+1)-維dimbo-Miwa方程的守恒律問(wèn)題.根據(jù)變系數(shù)Burgers方程中色散項(xiàng)系數(shù)a(t)和非線性項(xiàng)系數(shù)b(t)的各種不同情況，得到了方程的群分類，同時(shí)求得方程的一些約化和相似解.應(yīng)用相容性方法得到Jimbo-Miwa方程的兩類對(duì)稱及生成元v0-v6對(duì)應(yīng)的