某些幾乎傾斜模的補.pdf

1、傾斜理論在代數(shù)表示論中起著一個中心的作用。它是二十世紀(jì)八十年代初由Brenner-Butler[BB]，Bongartz[Bo]，Happel和Ringel[HR]在研究Artin代數(shù)的有限生成模時提出的。傾斜理論是研究模范疇的子范疇之間的等價和對偶，所以可以看成Morita等價理論的推廣。后來，Miyashita[Mi1]，Colby和Fuller[CF]研究了任意環(huán)上的投射維數(shù)有限的有限生成的傾斜模。Colpi和Trlifaj[CT

2、]以及Angeleri-Hugel和Coelho[Ac]介紹了任意環(huán)上的投射維數(shù)有限的無限生成的傾斜模。在文[Wa1]中， Wakamatsu研究了Artin代數(shù)上的投射維數(shù)無限的傾斜模，即Wakamatsu-傾斜模。魏加群在文[We1]中給出了任意環(huán)上的投射維數(shù)無限的傾斜模的概念，即∞-傾斜模.Miyashita在文[Mi2]中結(jié)合冪等理想構(gòu)造傾斜模時給出了Artin代數(shù)上傾斜對的定義。另一方面， Artin代數(shù)上的偏傾斜模的補特別是

3、幾乎傾斜模的補是傾斜理論的一個重要方面。幾乎傾斜模有多少個補，至今還是一個很受關(guān)注的問題。Happel和Unger在文[Hu1]中給出了幾乎傾斜模存在補的一個充分必要條件. Coelho，Happel和Unger在文[CHU]中給出了一定條件下幾乎傾斜模的補的個數(shù)的界限且研究了它們的同調(diào)性。 第一章給出了引言和預(yù)備知識.介紹了與本論文有關(guān)的研究發(fā)展概況，較全面闡述論文的工作背景和思路。 第二章，對遺傳的有限維代數(shù)A，構(gòu)造

4、了由補連成的正合列，并利用它得到了A的m-重代數(shù)A(m)上的忠實的投射維數(shù)不超過m的幾乎傾斜A(m)一模的互不同構(gòu)的不可分解補的個數(shù)，并且給出了這些補的分布.這樣，這一類幾乎傾斜模的補就很清楚了.主要結(jié)果如下：定理2.2.5設(shè)A是遺傳的有限維代數(shù)， T是忠實的投射維數(shù)小于等于m的幾乎傾斜A(m)-模，則T恰好有m+1個互不同構(gòu)的投射維數(shù)小于等于m的不可分解補。定理2.2.6設(shè)A是遺傳的有限維代數(shù)， T是忠實的幾乎傾斜A(m)-模。

5、 (1)T有有限個互不同構(gòu)的不可分解補{Xi}n i=0，這里每個Xi如定理2.2.5給出。 (2)而且，如果pdA(m)T=t≤m，則T的不可分解補有如下性質(zhì)： (1°)如果pdA(m)X0=0，則任意0≤i≤n，pdA(m)Xi=i。 (2°)如果pdA(m)X0≠0，則存在唯一的整數(shù)j，0≤J≤t-1使得當(dāng)0≤i≤j時，pdA(m)Xj=pdA（m)Xj+1=j+1，pdA(m)Xi=i+1；當(dāng)j+1≤i

6、≤n時，pdA(m)Xi=i。推論2.2.7設(shè)A是無限表示型的，T是忠實的幾乎傾斜A(m)-模且pdA(m)T≤m。則T的互不同構(gòu)的不可分解補的個數(shù)要么是2m+1要么是2m+2。 第三章的第二節(jié)利用文[WX1]和[WX2]中的結(jié)果，給出了幾乎C-傾斜模和C-補的定義，得到了幾乎C-傾斜模有C-補的一個等價條件.結(jié)果如下：定理3.2.13設(shè)C是自正交的A-模，且滿足cX有相對內(nèi)射余生成子，cX有限可濾以及cX關(guān)于滿態(tài)射的核封閉.設(shè)

7、M是幾乎C-傾斜模，則M有C-補當(dāng)且僅當(dāng)M ∩CX在CX里共變有限。第三章的第三節(jié)，對自正交左A-模C和左A-模T，給出了T的C-忠實維數(shù)C-fd(T)和T的C-余忠實維數(shù)C-cold(T)的概念，討論了當(dāng)T是幾乎C-傾斜模時，它們和T的互不同構(gòu)的不可分解C-補的個數(shù)之間的關(guān)系.得到下列主要結(jié)果：定理3.3.4設(shè)C是自正交的A-模，且滿足cX有相對內(nèi)射余生成子，cX有限可濾以及cX關(guān)于滿態(tài)射的核封閉.設(shè)M是幾乎C-傾斜模且存在C-補。

8、 (1)M存在唯一不可分解的C-補.X0使得M ∩ cX=(M +X0) ∩ cX，即X0是M的Bongartz C-補。 (2)如果M不是C-忠實的，則M只有唯一的不可分解C-補.X0。 (3)如果M是C-忠實的，則有正合列其中Xi=Coker hi-1(i≥1)，Xi→Mni是Xi的極小左add M-逼近(i≥0).而且，{xi}是M的互不同構(gòu)的不可分解C-補的完全集。定理3.3.5設(shè)C是自正交的A-模，且滿足

9、cX有相對內(nèi)射余生成子，cX有限可濾以及cX關(guān)于滿態(tài)射的核封閉.設(shè)M是幾乎C-傾斜模且存在C-補.則M恰好有n+1個互不同構(gòu)的不可分解C-補當(dāng)且僅當(dāng)C-cofd(M)=n。定理3.3.6題設(shè)于定理3.3.5一樣.如果M有n+1個互不同構(gòu)的不可分解C-補，則C-fd(M)≥n。 第四章給出Artin代數(shù)上、W-C-傾斜模和∞-C-傾斜模的概念，研究了它們之間的聯(lián)系.而且我們還將傾斜模上的Auslander-Reiten對應(yīng)推廣到W

10、-C-傾斜模上.得到了下列主要結(jié)果： 定理4.2.4設(shè)T是∞-C-傾斜模且cX有相對內(nèi)射余生成子，則T是W-C-傾斜模。 命題4.2.5設(shè)T∈cX且∞-pres(T)∈C⊥.則∞-pres(T)∈cX。 定理4.3.6設(shè)C是自正交模，cX有相對內(nèi)射余生成子，C⊥1關(guān)于滿態(tài)射的核封閉.則T→TX∩cX給出{T| T是基礎(chǔ)的W-C-傾斜模的同構(gòu)類}→{D| D是cX中相對余可解的有相對投射生成子的子范疇，且D關(guān)于這個