余弦度量與近擬余弦度量.pdf

1、芬斯勒幾何包括其重要特例黎曼幾何是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要前沿學(xué)科．粗略地說(shuō)，芬斯勒幾何是其度量無(wú)二次型限制的黎曼幾何．(α,β)-度量是一類包括Rander度量在內(nèi)的重要芬斯勒度量，在物理學(xué)和生物學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，本文致力于研究光滑流形M上兩類特殊的(α,β)-度量，即余弦度量F=αcosβ/α和n階近似余弦度量Fn=（公式略）的幾何性質(zhì)，重點(diǎn)討論了它們局部射影平坦的充要條件以及余弦度量F=αcosβ/α具有迷向S-曲率的充要條件．主要得到

2、結(jié)論：對(duì)于余弦度量與大于2階的近似余弦度量，其局部射影平坦的充要條件為α局部射影平坦且β關(guān)于α平行．而對(duì)于2階近似余弦度量F2=α(1-β2/2α2)來(lái)說(shuō)，其局部射影平坦的充要條件要弱一點(diǎn)，僅要求β是閉的，且roo=τ[2(1-b2)α2+3β2]及G<'i><,α>=ηyi+τα2bi.這里τ=τ(X)為M上的標(biāo)量函數(shù)，而η=ηi(x)Yi為M上的1-形式．主要結(jié)論如下：
　　 定理3.2光滑流形M上的余弦度量F=αcosβ/

3、α局部射影平坦當(dāng)且僅當(dāng)
　　 （1)β關(guān)于α平行，
　　 （2)α局部射影平坦，即具有常截面曲率．
　　 定理4.2光滑流形M上的2階近似余弦度量F2=α(1-s2/2！)，(s=β/α)局部射影平坦當(dāng)且僅當(dāng)β是閉的，且滿足
　　 （1）roo=τ[2(1-b2)α2+3β2],
　　 （2)G<'i><,α>=ηyi+τα2bi.
　　 其中τ=τ(X)為流形M上的標(biāo)量函數(shù)，η=ηi(x

4、)yi為M上的1-形式．
　　 定理5.2光滑流形M上的n階（n≥3）近似余弦度量Fn（公式略），局部射影平坦當(dāng)且僅當(dāng)
　　 （1)β關(guān)于α平行，
　　 （2)α局部射影平坦，即具有常截面曲率．
　　 定理6.1設(shè)M為n(n≥3)維光滑流形，對(duì)于M上的余弦度量F=αcosβ/α，下列條件等價(jià)
　　 （a)F具有迷向S-曲率，即S=(n+1)c(x)F．
　　 （b)F具有迷向E-曲率，即E