隨機比例微分方程數(shù)值解的收斂性和穩(wěn)定性.pdf

1、隨機延遲微分方程作為一種重要的數(shù)學(xué)模型，越來越多地應(yīng)用于經(jīng)濟、醫(yī)學(xué)、物理和控制科學(xué)等領(lǐng)域。由于很難直接求出隨機延遲微分方程的顯式解表達式，因此構(gòu)造合適的數(shù)值方法并對數(shù)值解的性態(tài)進行研究是一項具有理論價值和實際意義的工作。
　　對于隨機延遲微分方程的研究近十年來才逐步展開，現(xiàn)有的一些結(jié)論大都是關(guān)于隨機常延遲微分方程的。對于隨機無界延遲微分方程，特別是隨機比例微分方程的研究很少見到。
　　本文主要研究隨機比例微分方程。介紹了對時

2、間區(qū)間的變步長劃分方法，數(shù)值節(jié)點不僅包括離散點tn，還包括了所對應(yīng)的延遲節(jié)點qtn?？疾炝朔蔷€性隨機比例微分方程，在全局Lipschtiz條件和線性增長條件下，方程的半隱式Euler方法是1/2階收斂的。
　　對于一般形式的線性隨機比例微分方程，應(yīng)用變步長半隱式Euler方法，討論了數(shù)值解的T-穩(wěn)定性。T-穩(wěn)定是一種弱穩(wěn)定性，但在計算機實現(xiàn)方面有明顯優(yōu)勢，具有較強的應(yīng)用性。文章同時討論了定步長半隱式Euler方法的T-穩(wěn)定性，并分

3、別給出了數(shù)值試驗。通過簡單的比較，變步長方法在保持解的穩(wěn)定性和步長控制方面具有明顯的優(yōu)勢。
　　對于隨機比例微分方程，本文還研究了一種高階的數(shù)值方法——Milstein方法。該方法是基于隨機Taylor展開的強收斂方法，數(shù)值格式中含有兩個二重積分。利用隨機積分的性質(zhì)和鞅的性質(zhì)，有效的解決了二重積分的計算問題，證明了半隱式Milstein方法在均方意義下是1階收斂到方程解析解的。之后討論了應(yīng)用于線性試驗方程的變步長半隱式Milste