幾類非線性隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值方法的收斂性與穩(wěn)定性.pdf

1、隨機(jī)延遲微分方程既可以視為確定性模型問(wèn)題延遲微分方程考慮了隨機(jī)因素后的推廣，也可以視為非確定性模型問(wèn)題隨機(jī)常微分方程考慮了時(shí)滯因素后的推廣，所以隨機(jī)延遲微分方程往往能夠更加真實(shí)地模擬科學(xué)實(shí)際中的問(wèn)題．因此它已開始被廣泛地應(yīng)用于物理、化學(xué)、控制論、金融學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生態(tài)學(xué)等各個(gè)研究領(lǐng)域。由于它的研究方法，既不能等同延遲微分方程，也不能等同隨機(jī)常微分方程，只會(huì)更加棘手，所以在具體的研究過(guò)程中必將會(huì)面臨許多難以預(yù)料的困難。同時(shí)，與延遲微分方程

2、和隨機(jī)常微分方程一樣，要想辦法得到隨機(jī)延遲微分方程問(wèn)題本身的理論解是十分困難的。這就更加突顯出隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值求解方法的研究工作是一件十分迫切而且具有極其重要意義的事情。
　　 隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值解法研究目前剛剛起步，國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)主要研究線性隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值方法．本文主旨是試圖將這項(xiàng)研究推進(jìn)到非線性情形，其次，目前文獻(xiàn)中都是采用延遲量τ是步長(zhǎng)h的整數(shù)倍的技巧來(lái)處理問(wèn)題，本文突破了這一局限利用插值方法來(lái)逼近延遲量．本文研究

3、了幾類求解非線性隨機(jī)延遲微分方程的數(shù)值方法，獲得了一系列收斂性與數(shù)值穩(wěn)定性結(jié)果．所獲結(jié)論可視為文獻(xiàn)已有結(jié)果的推廣．其中所獲得的主要結(jié)果如下：
　　 (1)首先利用附近已有節(jié)點(diǎn)上的值通過(guò)線性插值的技巧對(duì)延遲項(xiàng)進(jìn)行數(shù)值逼近，相對(duì)于現(xiàn)有文獻(xiàn)中在延遲項(xiàng)的處理上，都是采用延遲量τ
　　是步長(zhǎng)h的整數(shù)倍的技巧，這是一種嶄新的嘗試；然后針對(duì)較一般情形下的一類非線性隨機(jī)延遲微分方程初值問(wèn)題，得到了帶線性插值的Euler-Maruyama

4、方法在均方意義下的收斂性結(jié)果，它部分推廣了已有文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)論。
　　 (2)將隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值方法的均方穩(wěn)定性的概念MS-穩(wěn)定與GMS-穩(wěn)定從線性試驗(yàn)方程推廣到一般非線性的情形，然后針對(duì)一維情形下的非線性隨機(jī)延遲微分方程初值問(wèn)題，證明了如果問(wèn)題本身滿足零解是均方漸近穩(wěn)定的充分條件，那么當(dāng)漂移項(xiàng)滿足一定的限制條件時(shí)，得到了Euler-Maruyama方法是MS-穩(wěn)定的與帶線性插值的Euler-Maruyama方法是GMS-穩(wěn)

5、定的理論結(jié)果。
　　 (3)將數(shù)值方法由Euler-Maruyama方法推廣到更為廣泛的一類方法——半隱式Euler方法(或稱隨機(jī)θ-方法)，同樣我們針對(duì)一維情形下的非線性隨機(jī)延遲微分方程初值問(wèn)題，證明了如果問(wèn)題本身滿足零解是均方漸近穩(wěn)定的充分條件，那么當(dāng)漂移項(xiàng)滿足一定的限制條件時(shí)，得到了半隱式Euler方法是MS-穩(wěn)定的與帶線性插值的半隱式Euler方法是GMS-穩(wěn)定的理論結(jié)果。
　　 (4)考慮到利用MilStein

6、方法來(lái)求解一類極其重要的方程——Fokker-Planck方程，在此針對(duì)白噪聲驅(qū)動(dòng)隨機(jī)系統(tǒng)的一維F0kker-P1anck方程，證明了如果問(wèn)題本身滿足零解是均方漸近穩(wěn)定的充分條件，那么當(dāng)漂移項(xiàng)滿足適度的限制條件時(shí)，獲得了利用Milstein方法求解該方程時(shí)是MS-穩(wěn)定的，而帶線性插值的Milstein方法求解該方程時(shí)是GMS-穩(wěn)定的理論結(jié)果。
　　 (5)考慮當(dāng)擴(kuò)散項(xiàng)為零時(shí)，非線性隨機(jī)延遲微分方程就退化為確定性問(wèn)題了，在此我們以