任意邊界下有限差分算法及在斷裂力學(xué)中的應(yīng)用.pdf

1、有限差分算法是計(jì)算數(shù)學(xué)中解各類偏微分方程的最重要的常用方法之一，以其直觀、公式和計(jì)算程序簡單、網(wǎng)格劃分簡單和準(zhǔn)備數(shù)據(jù)省時(shí)等優(yōu)點(diǎn)成為計(jì)算機(jī)模擬最早采用的方法。雖然為了解決不規(guī)則邊界問題而產(chǎn)生了更加有效的有限單元法以及有限體積法等，有限差分這一經(jīng)典算法仍然發(fā)揮著巨大作用。研究者們未曾停止對其進(jìn)行完善的工作。
　　本課題對任意邊界下的有限差分算法進(jìn)行了研究并建立了一種不規(guī)則邊界下的有限差分算法，重點(diǎn)在于不規(guī)則邊界處虛網(wǎng)格點(diǎn)的表達(dá)方式，采

2、用建立插值多項(xiàng)式并結(jié)合邊界條件的方法確定虛網(wǎng)格點(diǎn)的表達(dá)式，并代入現(xiàn)有的差分方程中求解。新的插值多項(xiàng)式的建立保證了鄰近邊界的內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)以及混合偏導(dǎo)數(shù)的差分格式具有二階精度，此法可以繼續(xù)推廣至更高階精度差分方程的建立。
　　在發(fā)展出有效的差分計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合王旭躍與清華大學(xué)馮西橋近兩年基于奇異性理論發(fā)展出的高效耦合算法形成一個(gè)材料破壞分析軟件，用于斷裂現(xiàn)象、尤其是小尺度破壞構(gòu)型的處理。工作重點(diǎn)先集中在破壞試驗(yàn)試件的韌

3、度測量方面。計(jì)算結(jié)果表明有限差分耦合方法的結(jié)果與有限元耦合方法的結(jié)果呈現(xiàn)出很好的一致。這表明有限差分算法不僅在計(jì)算效率上具有優(yōu)越性，在裂紋尺寸小于構(gòu)件尺寸的一半時(shí)，也具有很好的精度。
　　主要內(nèi)容為：
　　首先研究解橢圓型微分方程的在二類邊界條件下的有限差分算法，尤其是對邊界的處理方法。建立一種不規(guī)則邊界下滿足Neumann邊界條件的具有二階精度的有限差分算法，并且在此基礎(chǔ)上建立一種具有二階精度的混合偏導(dǎo)數(shù)的差分格式。

4、>　　其次將規(guī)則邊界下的有限差分算法應(yīng)用于斷裂力學(xué)中，針對含有一個(gè)中心裂紋的矩形板，求解標(biāo)準(zhǔn)算例中裂紋尖端的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子，并與手冊對照比較相對誤差，證明有限差分算法在斷裂力學(xué)中的應(yīng)用的有效性與精確性。
　　最后將建立的不規(guī)則邊界下的有限差分算法應(yīng)用于斷裂力學(xué)中，針對含有一個(gè)偏心裂紋的梯形板，求解裂紋尖端的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子，并與劉東瀅論文中應(yīng)用有限元耦合方法計(jì)算所得的裂紋尖端的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子對照比較相對誤差，證明所建立的