帶邊流形上的k-Yamabe問(wèn)題.pdf

1、k-Yamabe問(wèn)題是微分幾何中的一個(gè)很有趣的問(wèn)題.它是要找一個(gè)共形的度量g，使得它的Schouten張量的κ-曲率是常數(shù)．其中κ-曲率是指二階對(duì)稱張量特征值的κ次對(duì)稱多項(xiàng)式.特別的，當(dāng)k=1時(shí)k-Yamabe問(wèn)題就還原成了經(jīng)典的Yamabe問(wèn)題．我們有時(shí)也希望共形后Schouten張量的κ-曲率能等于預(yù)定的函數(shù)f.這種問(wèn)題稱為預(yù)定曲率問(wèn)題．
　　 對(duì)于閉流形而言，在(M，g)是κ-相容(k-admissible)的前提下，[A

2、u]，[S1]，[Tr1]，[Tr3](k=1)以及[V1],[CGY2]，[GeW]，[GW2],[BV]，[LL1]，[GV2],[STW],[TW1],[TW2](k≥2)已經(jīng)給出了κ-Yamabe以及預(yù)定曲率問(wèn)題的一系列的存在性結(jié)果．而對(duì)于具有全臍邊界的流形，我們已經(jīng)知道：若(M，g)局部共形平坦并且是κ-相容的，那么k-Yamabe問(wèn)題是可解的([Cn2])．隨后，[JLL]在k＞n/2以及流形不共形于半球面的情況下弱化了局部

3、共形平坦的條件.只要流形在邊界附近是局部共形平坦的，便可以得到更為一般的預(yù)定曲率問(wèn)題都有解．在這些工作的基礎(chǔ)上，我們研究了具有全測(cè)地邊界的流形的k-Yamabe問(wèn)題，對(duì)于該問(wèn)題解的存在性，我們?nèi)サ袅松鲜稣撐闹幸蟮倪吔绺浇植抗残纹教沟倪@個(gè)條件.
　　 除了k-相容的情況外，當(dāng)k-Yamabe常數(shù)(yκ[g])為正時(shí)也有一系列存在性結(jié)果.比如，文獻(xiàn)[CGY1]，[GV1]，[GLW]和[S]就對(duì)閉流形上的這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行了討論.對(duì)于