流形上幾何與拓?fù)涞娜舾蓡栴}研究.pdf

1、本文著重研究流形上幾何與拓?fù)涞娜舾蓡栴}，獲得了非負(fù)常曲率空間形式中完備子流形的最佳微分球面定理，證明了一類黎曼流形的最佳微分球面定理，并將著名的Brendle-Schoen微分球面定理推廣到黎曼流形中具任意余維數(shù)p(≥0)的子流形情形，還獲得了空間形式中完備子流形的一個(gè)分類定理；證明了關(guān)于緊致黎曼流形的若干微分球面定理，部分解答了丘成桐(S.T.Yau)提出的關(guān)于黎曼流形逐點(diǎn)曲率pinching的公開問題，將關(guān)于正Ricci曲率黎曼流形

2、的沈忠民拓?fù)淝蛎娑ɡ砀倪M(jìn)為關(guān)于正數(shù)量曲率黎曼流形的微分球面定理；獲得了緊致Einstein流形的最佳剛性定理；改進(jìn)了關(guān)于球面中極小子流形的丘成桐剛性定理，并將其完整地推廣到空間形式中平行平均曲率子流形的情形，在Ricci曲率pinching條件下證明了空間形式中平行平均曲率子流形的最佳剛性定理；系統(tǒng)研究了pinched流形中平行平均曲率子流形的剛性問題．本文主要由五部分(第三至第七章)組成．
　　 本文第三章證明了黎曼流形與子流

3、形的若干微分球面定理．流形的曲率與拓?fù)涫钦w黎曼幾何的核心課題之一.近六十年來，Anderson、Berger、Brendle、Cheeger、Chern、Colding、Gromoll、Gromov、Grove、Hamilton、Huisken、Klingenberg、Micallef、Moore、Perelman、Rauch、Schoen、Shiohama、Yau等一批國際著名學(xué)者對這一領(lǐng)域作出了杰出貢獻(xiàn)．最近，H.W.Xu和E.T

4、.Zhao首次獲得了曲率拼擠(pinching)條件下高余維黎曼子流形的微分球面定理．在第三章中，我們首先研究了完備流形的微分球面定理.對于非負(fù)常曲率空間形式Fn+p(c)中的可定向完備子流形Mn，引進(jìn)一個(gè)與數(shù)量曲率和平均曲率相關(guān)的新的幾何量λ(M)，運(yùn)用Hamilton與Brendle的Ricci流收斂性定理和關(guān)于穩(wěn)定流不存在性的Lawson-Simons-Xin公式，我們證明：若上述幾何量λ(M)＜0，則M微分同胚于Sn．該結(jié)果推廣

5、了關(guān)于球面中閉超曲面的Huisken微分球面定理．其次，我們將關(guān)于緊致黎曼曲面的Hadamard微分球面定理推廣到高維黎曼流形的情形.通過上述幾何量λ(M)，我們引進(jìn)可定向完備黎曼流形Mn上的內(nèi)蘊(yùn)不變量I(M)，證明：若I(M)＞0，則M微分同胚于S.值得一提的是，該微分球面定理對任意的維數(shù)n(≥2)都是最佳的．此外，我們將著名的Brendle-Schoen微分球面定理推廣到黎曼流形中具任意余維數(shù)p(≥0)的子流形情形．我們還獲得了空間

6、形式中具有正數(shù)量曲率完備子流形的一個(gè)分類定理．
　　 第四章獲得了各類曲率pinching條件下黎曼流形的微分球面定理．我們首先證明：若M為n維緊致黎曼流形，且Ricmin＞(n-1)θnKmax，其中θn=1-Kmax(x):=maxπ(?)TxMK(π),Ricmin(x):=minu∈UxMRic(u),K(·)和Ric(·)分別為M的截面曲率和Ricci曲率，則M微分同胚于球面空間形式．特別地，若M為緊致單連通流形，且K

7、≤1，RicM＞(n-1)θn，則M微分同胚于Sn．我們進(jìn)一步研究了具有正數(shù)量曲率的黎曼流形的微分球面定理，證明：若Mn為緊致流形，且其正規(guī)化數(shù)量曲率和截面曲率滿足逐點(diǎn)pinching條件R0＞σnKmax，其中為僅依賴于n的正常數(shù)，則M微分同胚于球面空間形式.該結(jié)果改進(jìn)了關(guān)于正Ricci曲率黎曼流形的沈忠民拓?fù)淝蛎娑ɡ?我們還證明：若Mn為緊致流形，且Kmin＞ηnR0，其中為僅依賴于n的正常數(shù)，則M微分同胚于球面空間形式．該定理部分

8、解答了丘成桐提出的關(guān)于黎曼流形逐點(diǎn)曲率pinching的公開問題．我們還獲得了關(guān)于第n-2個(gè)Ricci曲率和正規(guī)化數(shù)量曲率逐點(diǎn)pinching條件下的微分球面定理．此外，我們將上述球面定理推廣到一般黎曼流形中緊致子流形的情形．
　　 第五章研究了具有正數(shù)量曲率的緊致Einstein流形的剛性問題．Einstein流形的剛性問題是整體黎曼幾何中的重要課題之一．Berger、Tachibana、Z.M.Shen、Micallef、W

9、ang與D.Yang等人先后對這一問題進(jìn)行了系統(tǒng)深入的研究，獲得了若干重要結(jié)果.最近，Brendle證明具有非負(fù)迷向曲率的n(≥4)維緊致Einstein流形是局部對稱的．在第五章中，我們首先證明：若Mn(n≥4)為緊致Einstein流形，其正規(guī)化數(shù)量曲率和截面曲率滿足其中則M等距于球面空間形式.我們還證明：若n(≥4)維緊致Einstein流形M滿足其中則M為局部對稱流形．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，我們舉例說明了pinching常數(shù)是最佳的.其

10、次，我們在第n-2個(gè)Ricci曲率和正規(guī)化數(shù)量曲率pinching條件下獲得了緊致Einstein流形的剛性定理．此外，我們將上述定理推廣到一般黎曼流形中緊致Einstein子流形的情形.
　　 第六章證明了空間形式中平行平均曲率子流形的剛性定理.上世紀(jì)六十年代末，Simons、Lawson、Chern、do Carmo和Kobayashi證明了球面中閉極小子流形的著名剛性定理.在Okumura和Yau等學(xué)者的工作基礎(chǔ)上，199

11、0年H.W.Xu完整地證明了球面中平行平均曲率子流形的廣義SimonsLawson-Chern-do Carmo-Kobayashi剛性定理．在第六章中，我們首先研究了球面中極小子流形的剛性問題．運(yùn)用Yau的參數(shù)方法和Ge-Lu-Tang證明的DDVV不等式，我們證明：若M為單位球面Sn+p中n維可定向的緊致極小子流形，且則M必為全測地子流形，兩個(gè)球面的乘積流形，和S4中的Veronese曲面之一.這里sgn(·)為標(biāo)準(zhǔn)的符號函數(shù)．當(dāng)2

12、＜p＜n時(shí)，上述結(jié)果同時(shí)改進(jìn)了Yau和Itoh的極小子流形剛性定理．其次，我們將上述剛性定理推廣到空間形式中平行平均曲率子流形的情形.我們還證明：若空間形式Fn+p(c)中n維緊致可定向平行平均曲率子流形M的Ricci曲率滿足RicM≥(n-2)(c+H2)，其中c+H2＞0，則M必為全臍球面，中的Clifford超曲面和中之一.特別地，當(dāng)時(shí)，M為全臍球面．該剛性定理完整地推廣了改進(jìn)后的Ejiri剛性定理．上述剛性定理為研究常曲率空間形

13、式中高余維平均曲率流提供了重要的幾何背景.受此剛性定理的啟發(fā)，我們還證明了Ricci曲率pinching條件下緊致子流形的微分球面定理．
　　 第七章研究了pinched黎曼流形中平行平均曲率子流形的剛性問題，進(jìn)一步推廣了本文第六章中的剛性定理．1990年，H.W.Xu首次研究了一般黎曼流形中極小子流形的剛性問題．之后，Shiohama與H.W.Xu證明了pinched黎曼流形中緊致平行平均曲率子流形的廣義Simons-Laws

14、on-Chern-do CarmoKobayashi-Li-Li剛性定理．在本章中，我們首先在截面曲率pinching條件下證明n+p維pinched黎曼流形中n維緊致可定向極小子流形M的剛性定理，推廣了Yau、Itoh、J.R.Gu與H.W.Xu等的剛性定理，并進(jìn)一步將這一結(jié)果推廣到pinched黎曼流形中n維緊致可定向平行平均曲率子流形的情形．我們還研究了Ricci曲率pinching條件下n+p維pinched黎曼流形中n維緊致可