子流形高斯像的幾何與拓撲性質(zhì)研究.pdf

1、子流形高斯像的幾何與拓撲是整體微分幾何領(lǐng)域的重要研究課題之一.本文著重研究常曲率空間形式中完備子流形高斯像體積的幾何與拓撲性質(zhì).獲得了子流形高斯像體積的計算公式及其上、下界估計，并證明了高斯像體積pinching條件下的拓撲球面定理. 1968年，陳省身證明了歐氏空間R2+p中完備可定向極小曲面高斯像的面積等于該極小曲面的總曲率乘以-1.1986年，陳志華將這一定理推廣到球面S2+p和雙曲空間H2+p中完備可定向極小曲面的情形.

2、在此基礎(chǔ)上，1990年，李海中和許洪偉獨立地給出了常曲率空間形式中完備可定向曲面高斯像的面積計算公式.1981年，M.Gromov證明了任一n維緊致黎曼流形M的全Betti數(shù)∑ni=0βi≤C(n，k)，其中C(n，k)為僅與n，k有關(guān)的正常數(shù)，k=infKM. 本文第一部分首先研究了歐氏空間Rn+p中n維完備可定向子流形的高斯像的幾何與拓撲性質(zhì)，給出了高斯像體積的計算公式、高斯像體積的幾何上界和拓撲下界，證明了高斯像體積pin

3、ching條件下的拓撲球面定理.確切地說，獲得了下述結(jié)果：設(shè)ψ：M→Rn+p是n維完備可定向黎曼流形M到Rn+p的等距浸入，g(M)為M的高斯像.則(i)V(g(M))≤n-n/2∫MSn/2dM；(ii)如果M是緊致的，那么V(g(M))≥ω-1p-1∫Sn+p-1\E∑i=0Ci(ψz)dz≥C(n,p)n∑i=0βi 特別地，當(dāng)V(g(M))＜3C(n，p)時，M必同胚于n維球面Sn(1).這里ψz是z方向上的高度函數(shù)，E

4、是Sn+p-1中的零測集，Ci(ψz)是Morse函數(shù)ψz的指數(shù)為i的臨界點的個數(shù)，βi是M的關(guān)于任一固定系數(shù)域的第i個Betti數(shù)，C(n，p)=ωn+p-1/ωp-1，ωm是m維單位球面Sm(1)的體積. 球面中子流形具有兩類不同的高斯映射.本文第二部分研究了球面中完備子流形的第一類高斯像的幾何與拓撲性質(zhì)，獲得了第一類高斯像體積的計算公式，并將第一部分中的主要結(jié)果作了如下推廣： 設(shè)ψ：M→Sn+p是n維完備可定向黎曼

5、流形M到Sn+p的等距浸入，g(M)為M的第一類高斯像.則(i)∫M√1+SdM≤V(g(M))≤∫M(1+S/n)n/2dM，當(dāng)且僅當(dāng)M是全測地時等號成立；(ii)如果M是緊致的，那么V(g(M)≥ω-1p∫Sn+p\En∑i=0Ci((Iοψ)z)dz≥C1(n,p)n∑i=0βi.特別地，當(dāng)V(g(M))＜3C1(n，p)時，M必同胚于n維球面Sn(1).這里(Iοψ)z是等距浸入Iοψ：M→Rn+p+1在z方向上的高度函數(shù)，I：

6、Sn+p→Rn+p+1是標(biāo)準(zhǔn)等距嵌入，E是Sn+p中的零測集，Ci((Iοψ)z)是Morse函數(shù)(Iοψ)z的指數(shù)為i的臨界點的個數(shù)，βi是M的關(guān)于任一固定系數(shù)域的第i個Betti數(shù)，C1(n，p)=ωn+p/ωp，ωm是m維單位球面Sm(1)的體積. 本文第三部分研究了球面中完備子流形的第二類高斯像的幾何與拓撲性質(zhì)，將前兩部分的主要結(jié)果作了相應(yīng)推廣. 設(shè)ψ：M→Sn+p是n維緊致可定向黎曼流形M到Sn+p的等距浸入，

7、g(M)為M的第二類高斯像，則V(g(M))≥ω-1p∫Sn+p\En∑i=0Ci(Iοψ)z)dz≥C1(n,p)n∑i=0βi,特別地，當(dāng)V(g(M))＜3C1(n，p)時，M必同胚于n維球面Sn(1).這里(Iοψ)z是等距浸入Iοψ：M→Rn+p+1在z方向上的高度函數(shù)，I：Sn+p→Rn+p+1是標(biāo)準(zhǔn)等距嵌入，E是Sn+p中的零測集，ci((Iοψ)z)是Morse函數(shù)(Iοψ)z的指數(shù)為i的臨界點的個數(shù)，βi是M的關(guān)于任一固