一類乘積空間中的子流形幾何.pdf

1、博士學(xué)位論文一類乘積空間中的子流形幾何G e o m e t r y o f S u b m a n i f o l d s i n a K i n d o f P r o d u c t S p a c e s作者姓名： 邱望華學(xué) 號(hào)： 1 1 0 0 1 0 0 2指導(dǎo)教師：學(xué)科、專業(yè)：侯中華教授基礎(chǔ)數(shù)學(xué)答辯日期： 2 0 1 5 年1 1 月1 8 日大連理工大學(xué)D a l i a n U I l i V e r s i t y

2、o fT e c h n o l o g y大連理工大學(xué)博士學(xué)位論文摘 要子流形幾何是微分幾何中的一個(gè)重要分支．近二十年來(lái)，對(duì)乘積空間中的子流形研究非常廣泛，尤其是對(duì)乘積空間胗( c ) ×酞中的子流形的研究更加火熱．本文主要研究了肘n ( c ) ×酞中的具有平行平均曲率向量場(chǎng)的子流形以及、M l l m o r e 子流形．首先，在第三章中，我們研究了偽黎曼乘積空間M ( c ) ×酞中的子流形．2 0

3、 1 1 年，M ．B a t i s t a 【1 】在黎曼乘積空間M 2 ( c ) ×R 中具有常平均曲率的曲面上引進(jìn)了一個(gè)特殊的( 1 ，1 )型張量S ，并得到了關(guān)于S 的一些拼擠( P i n c h i n g ) 常數(shù)．之后，D ．F e t c u ＆H ．R o s e b b e r g 【2 】把張量S 推廣到了一般余維數(shù)的曲面上．我們將其進(jìn)一步推廣到外圍空間為偽黎曼乘積空間上去，并研究了算子S 的間隙

4、問(wèn)題，也得到了一些拼擠常數(shù)．特別地，對(duì)肘2 ( c ) ×酞中曲面的情況，我們得到的若干P i n c h i n g 常數(shù)都優(yōu)于【1 】中相應(yīng)的P i n c h i n g 常數(shù)．其次，第四章研究了∥( c ) xR 中的高斯曲率非負(fù)的曲面，并在常角條件下完全刻畫了高斯益率為零的曲面．這恰好解決了H ．A l e n c 虬M ．d oC a 徹o ＆R ．嘶b u z y 【3 】提出的一個(gè)公開問(wèn)題．我們知道要完全刻畫肘

5、n ( c ) ×酞中的平坦曲面是非常困難的，甚至對(duì)外圍空間為M 2 ( c ) ×酞的情況都不明朗．在常角條件下，我們得到了M ”( c ) ×R 中的平坦曲面的參數(shù)表示．再次，在第五章中我們研究了M n ( c ) ×酞中子流形的剛性問(wèn)題．通過(guò)計(jì)算一些算子的拉普拉斯，我們得到了若干個(gè)s i m o n s 型方程．從這些S i m o n s 型方程出發(fā)，我們獲得了若干個(gè)間隙定理．具體來(lái)說(shuō)，首

6、先分別對(duì)S 九( 1 ) ×R 中的超曲面和高余維數(shù)的子流形，我們證明了在一定條件下，子流形是s H ( 1 ) 中的全測(cè)地子流形；其二，對(duì)M 3 ( c ) ×酞中的曲面進(jìn)行了一些分類，其中在增加額外條件下定理5 ．1 4 改進(jìn)了【4 】中的命題4 ．1 ；其三，我們證明了M n ( c ) ×酞中的子流形在一定條件下是M n ( c ) 的全測(cè)地子流形M m + 1 ( c ) 中具有常平均曲率的全臍超

7、曲面．最后，在第六章中我們研究了M n ( c ) ×R 中的W i l l m o r e 子流形．通過(guò)計(jì)算泛函凡( z )( 良：n ／2 為w i z 砌D r P 泛函) 的變分得到了E u l e r - L a 伊a n g e 方程，并給出了^ 礦( c ) ×酞中的子流形是w i l l m o r e 子流形的充要條件．利用這些結(jié)論，我們證明了具有常角性質(zhì)的w i l l m o r e曲面∑2 &

8、#168;M 2 ( c ) ×R 只能是∑2 ∈M 2 ( c ) 和∑2 = y ×酞兩大類( 7 為M 2 ( c ) 中的曲線) ．此外，我們還證明了全臍曲面∑2 ¨M 2 ( c ) ×酞必定是w i l l m o r e 曲面．顯然，其逆命題未必成立! 為此，我們給出了使逆命題成立的一個(gè)充分條件．關(guān)鍵詞：乘積空間；平行平均曲率向量；非負(fù)高斯曲率；間隙定理；W i l l m o r