變分不等式問題的仿射內(nèi)點信賴域方法和應(yīng)用.pdf

1、變分不等式問題起源于數(shù)學(xué)物理問題和非線性規(guī)劃。長期以來，變分不等式問題已被廣泛應(yīng)用于構(gòu)建和研究金融學(xué)、運籌學(xué)、交通規(guī)劃及區(qū)域科學(xué)等領(lǐng)域產(chǎn)生的各種均衡模型。因其在數(shù)學(xué)規(guī)劃研究中的重要作用，變分不等式問題的有效求解正成為當(dāng)今變分不等式問題研究的重要方面。由于對變分不等式問題直接進(jìn)行求解難度很大，許多研究工作者設(shè)想了很多間接求解變分不等式問題的方法，其中最重要的分支之一是將其轉(zhuǎn)化為等價的（無）約束優(yōu)化問題，以便于運用成熟的最優(yōu)化方法得以解決。

2、 非線性（無）約束的最優(yōu)化理論與方法的研究，由整體收斂性和局部收斂速率兩部分構(gòu)成，其中線搜索技術(shù)與信賴域策略是保證算法的整體收斂性的兩個重要手段。同時，伴隨著計算機(jī)的發(fā)展和軟件的完善，最優(yōu)化問題的數(shù)值求解正變得越來越實際可行。 本文主要針對有界約束、線性約束、非線性約束及一般凸約束的單調(diào)變分不等式問題，引入Fukushima及Peng介紹的各種勢函數(shù)，將變分不等式問題轉(zhuǎn)化為等價的（無）約束優(yōu)化問題，提出了各類結(jié)合非單調(diào)線

3、搜索技術(shù)的仿射變換內(nèi)點信賴域方法。 在構(gòu)造約束優(yōu)化問題的信賴域子問題過程中，本文通過引入一些仿射矩陣技巧性克服了有界約束、線性等式和不等式約束帶來的困難，構(gòu)建了近似二次函數(shù)和具有常用的橢球約束信賴域子問題。解此子問題即得可行的迭代方向，通過非單調(diào)線搜索獲得下一迭代點并可保證目標(biāo)函數(shù)有足夠下降量。在合理的假設(shè)條件下，所給出的這類算法具有整體收斂性和局部二次收斂速率。 最優(yōu)路徑法及修正梯度路徑法是解無約束優(yōu)化問題時的常用方法

4、，由于具有構(gòu)造簡便，易于編程計算等優(yōu)點，這些弧線路徑法已經(jīng)成為求解大規(guī)模問題的一種重要方法。在本文中，通過引入仿射變化矩陣，構(gòu)造了約束優(yōu)化問題的仿射變換最優(yōu)路徑。沿著最優(yōu)路徑搜索得到迭代方向，當(dāng)該迭代方向步不嚴(yán)格可行時，利用線搜索技術(shù)得到可接受的步長因子，并且此步長因子保證了新的迭代點有足夠的下降量并且位于可行域的內(nèi)部。由于最優(yōu)路徑是通過信賴域問題得到的，因此具有非常良好的性質(zhì)。文章證明了最優(yōu)路徑仿射內(nèi)點算法具有整體收斂性和局部二次收斂

5、速率。 另外，基于變分不等式問題的無約束優(yōu)化問題（Peng）的勢函數(shù)，將線性約束變分不等式問題轉(zhuǎn)化為等價的約束優(yōu)化問題，提供了結(jié)合非單調(diào)線搜索技術(shù)的仿射變換內(nèi)點修正梯度路徑方法?？紤]將信賴域子問題中的信賴域約束去掉，沿著修正梯度路徑搜索并結(jié)合回代線搜索技術(shù)，可以近似的求解信賴域子問題。文中證明了在合理的假設(shè)條件之下，算法具有整體收斂性。若在算法中引入線性化變分不等式問題，同樣可得局部超線性收斂速率。 投影梯度法是解決凸約

6、束最優(yōu)化問題的一類有意義的方法，本文中對于凸約束的單調(diào)變分不等式問題產(chǎn)生的信賴域子問題，采用近似投影梯度算法對其進(jìn)行求解，既避免了反復(fù)求解信賴域子問題，又保證了算法具有整體收斂性和局部二次收斂速率。算法的數(shù)值結(jié)果表明了有效性和可行性。 變分不等式問題和最優(yōu)化問題與KKT系統(tǒng)之間具有緊密的聯(lián)系，特別是一般的非線性約束變分不等式問題可以轉(zhuǎn)化為KKT系統(tǒng)。本文一方面考慮對非線性約束變分不等式問題的KKT條件進(jìn)行重構(gòu)，轉(zhuǎn)化為等價的約束優(yōu)