關(guān)于時間尺度上幾類積分不等式和動力方程解的定性分析.pdf

1、對于許多微分方程、差分方程以及關(guān)于時間尺度上的動力方程,如果不能得到其精確解,則對其解的定性分析如有界性、唯一性、對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性等將顯得比較重要。Gronwall-Bellman型不等式在對解的有界性、唯一性、對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性研究方面起著不可替代的作用。對該類不等式,已有不少研究成果,但注意到目前對關(guān)于時間尺度上的Gronwall-Bellman型不等式以及關(guān)于不連續(xù)函數(shù)的Gronwall-Bellman型不等式的研究

2、成果并不十分豐富。
　　對微分方程解的振動性和漸近性研究,近幾十年來出現(xiàn)了大量研究成果,但這些研究成果大都是針對整數(shù)階微分方程的,而關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程的振動性研究成果鮮見報道,同時對時間尺度上三階帶阻尼項的動力方程解振動性和漸近性的研究也相對較少。
　　此外,對某些具有特定形式的微分方程,可以求得其精確解。目前,出現(xiàn)了大量針對微分方程精確解求解的方法,如 Exp函數(shù)方法,Jacobi橢圓函數(shù)方法,齊次平衡法等。但對微分-差分

3、方程精確解的研究成果并不十分豐富,有待于進(jìn)一步研究。
　　基于以上分析,本論文將做如下幾個方面的研究。第一章討論了總的研究背景,并給出了時間尺度理論的一些重要的定義和定理,第二章主要研究了幾類時間尺度上Gronwall-Bellman-Volterra-Fredholm型不等式、時間尺度上非線性 Gronwall-Bellman型延時積分不等式、時間尺度上非線性 Pachpatte型延時積分不等式,基于這幾類不等式,推導(dǎo)并建立了未

4、知函數(shù)的界,并在此基礎(chǔ)上研究了一些具有特定形式的動力方程解的定性性質(zhì)。這些結(jié)論一方面比文獻(xiàn)中已有的Gronwall-Bellman型積分不等式或離散不等式具有更一般的意義,另一方面也統(tǒng)一了連續(xù)和離散的分析。第三章主要利用時間尺度理論,并結(jié)合利用廣義 Riccati技巧、不等式技巧和積分平均技巧研究了時間尺度上帶阻尼項的三階動力方程和三階延時泛函動力方程解的振動性和漸近性,得出了一些新的解振動和漸近的充分條件,并給出了相關(guān)的例子;關(guān)鍵之處

5、在于對阻尼項的處理用到了時間尺度上的指數(shù)函數(shù)。第四章主要利用廣義 Riccati技巧并結(jié)合不等式技巧和積分平均技巧研究了幾類帶阻尼項和不帶阻尼項的含右邊 Liouville導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分方程解的振動性,得到了一些新的振動規(guī)則,并給出了相關(guān)的例子。第五章主要建立了一些不連續(xù)函數(shù)情形下的Gronwall-Bellman型積分不等式,并將它們應(yīng)用于某些具有特定形式的關(guān)于不連續(xù)函數(shù)的微分或積分方程解的有界性分析,所建立的各種不等式推廣了文獻(xiàn)中