關(guān)于具有凸性的非線性算子及其應(yīng)用.pdf

1、本文的研究?jī)?nèi)容主要有兩部分.第一部分:討論了α(＞1)-凸算子，具有凹凸性的序壓縮算子及φ凸-ψ凹混合單調(diào)算子等三類非線性算子.第二部分:用非線性算子理論，特別是用我們得到的結(jié)論討論了一類泛函微分方程奇異邊值問題和一類脈沖積分-微分方程初值問題的求解.
　　深入研究帶有凸性的非線性算子無論在理論上還是在應(yīng)用上都具有重要意義.比如，在工程問題中，核問題中及經(jīng)濟(jì)問題中往往涉及到帶有凸性的非線性算子.但遺憾的是對(duì)這類算子的研究尚未能深入

2、，因而對(duì)解決有關(guān)問題尚無有力工具.
　　脈沖微分方程理論興起于上世紀(jì)六十年代末.脈沖現(xiàn)象在現(xiàn)代科技各領(lǐng)域的實(shí)際問題中是普遍存在的，其數(shù)學(xué)模型往往可歸結(jié)為脈沖微分系統(tǒng).脈沖微分系統(tǒng)能夠更深刻，更精確地反映事物的變化規(guī)律.近年來，這類系統(tǒng)已重要應(yīng)用于航天技術(shù)，信息科學(xué)，控制系統(tǒng)，通訊，生命科學(xué)，醫(yī)學(xué)，經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域.但對(duì)它的理論及應(yīng)用研究仍處于初級(jí)階段.討論這類問題有十分重要的意義.
　　本文的討論主要采用了半序方法.與一般文獻(xiàn)相比

3、，本文的不同之處在于，不是對(duì)單值的像用半序，而是對(duì)集值的原像用半序.
　　本文主要的研究結(jié)果有:
　　在§2.1中，討論了一類α(＞1)-凸算子;在較弱的條件下得到了α(＞1)-凸算子不動(dòng)點(diǎn)的存在性和唯一性，具體結(jié)果見定理2.1.1，定理2.1.4，定理2.1.6，定理2.1.8，定理2.1.11，定理2.1.12，定理2.1.21等;并應(yīng)用于一類偏微分方程的求解，見定理2.1.23.
　　在§2.2中，討論了一類具有

4、凹凸性的序壓縮算子;得到了其不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性條件，具體結(jié)果見定理2.2.15，定理2.2.16，定理2.2.18，定理2.2.21，定理2.2.24-2.2.27等;并應(yīng)用于討論一類減算子，見定理2.2.17，定理2.2.20.
　　在§2.3中，引入了本質(zhì)上是討論凸性問題的φ凸-ψ凹混合單調(diào)算子的概念，在較寬松的條件下獲得了這類算子正不動(dòng)點(diǎn)的存在性和唯一性條件，具體結(jié)果見定理2.3.2-2.3.20;并應(yīng)用于一類積分方程的求解

5、，見例2.3.21.
　　在§3.1中，討論了Banach空間中泛函微分方程奇異邊值問題{y"(t)+f(t，yt)=0,t∈[0,1]αy(t）-βy'(t)=η(t)，t∈[-Υ，0](1)Υy（t)+δy'(t)=ξ(t)，t∈[1，b]其中yt(s)=y(t+s)，(V)s∈[-Υ，α]
　　利用Avery和Henderson的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了(1)至少有兩個(gè)正解的充分條件，見定理3.1.4;又利用α(∈(0，

6、1))-凹算子的不動(dòng)點(diǎn)定理得到了(1)有唯一正解的條件，見定理3.1.6.
　　在§3.2中，討論了如下Banach空間中一階和二階脈沖積分-微分方程初值問題(2)和(3):{x'=f(t，x，Tx)，t∈J'，△x丨t=tk=Ik(x(tk)),k=1，2，…，(2)x(t0)=x0，其中f∈C(J×P×P，P)，Ik∈C（P,P）（k=1，2，…），x0＞θ，△x|t=tk=x（t+k）-x（tk），x（t+k）表示x(t)在

7、t=tk處的右極限;Tx(t)=∫tt0K(t，s)x(s)ds((V)t∈J)，K∈C(D，R+),D={(t,s)∈J×J|t≥s},(R+=[0,+∞));{x"=f(t,x,Tx,Sx),t∈J',△x|t=tk=Ik(x(tk)),k=1,2，…，(3)△x'丨t=tk=(I)k（x（tk）），k=1，2，…，x(t0)=x0，x'(t0)=x'0其中f∈C(J×P×P×P，P)，Ik，(I)k∈C（P,P）（k=1，2，…，

8、），x0＞θ，x'0≥θ，△x丨t=tk=x(t+k-x(tk)，△x'丨t=tk=x'(t+k）-x'(t-k），x'(t-k）和x'(t+k)分別表示x'(t）在t=tk處的左極限和右極限;Tx(t)=∫tt0K(t，s)x(s)ds((V)t∈J)，K∈C(D，R+)，D={(t，s)∈J×J|t≥s}，(R+=[0,+∞));Sx(t)=∫+∞t0H(t,s)x(s)ds((V)t∈J，H∈C(J×J,R+);
　　利用我