兩類不同Lorentz空間的有關(guān)性質(zhì).pdf

1、本文分兩章. 第一章主要是給出了兩個(gè)結(jié)果.一個(gè)是各種權(quán)的包含關(guān)系，主要有：B∞p,∞(u)()B∞p,∞，0＜p＜∞；B∞p,∞(u)∈B∞q,∞(u)，0＜p＜q＜∞；Bp(u)()B∞p,∞(u)，0＜p＜∞.另一個(gè)是給出了如下定理：若‖T(W0-1/po)‖Lp1，∞(w1)＜∞，其中Tg(t)=∫∞φu(s)g(st)ds，T為作用在g↓(非負(fù)單調(diào)遞減的函數(shù))的算子，φu(t)=supu/(Q)/|Q|(u-1XQ)*u

2、(u(Q)t)，0＜t＜∞，其中上確界取遍所有的方體Q∈Rn，0＜t＜∞，其中u(Q)=∫Qu(s)ds.則M：∧pou,∞(w0)→∧p1,u∞(w1)，其中M為H-L極大算子. 第二章討論了二指標(biāo)二維Lorentz空間∧p,q2(w)的一些性質(zhì).主要包括以下結(jié)果. 定理2.2.1.7當(dāng)0＜r1，r2＜∞，0＜p，q＜∞時(shí)，(a)若r1＞r2，則下列條件等價(jià)：(i)∧r1(u)()∧q,r22(w2).(ii)Dsup

3、D∫10∑k∈Z[w2(Dk)r2/q+t(w2(Dk+1)r2/q-w2(Dk)r2/q)/U(|Dk|)+t(U(|Dk+1|)-U(|Dk|))r/r1·(w2(Dk+1)r2/q-w2(Dk)r2/q)dt＜∞.(iii)0sup↓∫∞0U(|Df,t|)-r/r1d(-w2(Df,t)r/q)＜∞，其中Df,t={x：f(x)＞t}.(iv)DsupDk()DΣk∈zU(|Dk+1|)-r/r1(w2(Dk+1)r2/q-w2

4、(Dk)r2/q)r/r2＜∞.(b)若r1＞r2，則下列條件等價(jià)：(i)∧p,r12(w1)()∧q,r22(w2)(ii)DsupDk()D∫10Σk∈z[w2(Dk)r2/q+t(w2(dk+1)r2/q-w2(Dk)r2/q)/w1(Dk)r1/q+t(w1(dk+1)r1/q-w1(Dk)r1/q)]r/r1(w2(Dk+1)r2/q-w2(Dk)r2/q)dt＜∞.(iii)sup0≤f↓∫∞0(w1(Df,t))-r/pd

5、(-(w2(Df,t))r/q)＜∞，其中Df，t={x：f(x)＞t}.(iv)sup/Dk()D∑k∈Z(w1(Dk+1))-r/p(w2(Dk+1)r2/q-w2(Dk)r2/q)r/r2＜∞.(c)若r1＞r2，則下列條件等價(jià)：(i)∧p,r12(w1)()∧r2(u)(ii)supDk()D∫10∑k∈Z[V(|Dk|)+t(V(|Dk+1|)-V(|Dk|))/w1(Dk)r1/p+t(w1(Dk+1)r1/p-w1(Dk)

6、r1/p)]r/r1·(V(|Dk+1|)-V(|Dk|))dt＜∞.(iii)sup0≤f↓∫∞0(w1(Df,t))-r/pd(-V(|Df,t|)r/r2)＜∞,其中Df，t={x：f(x)＞t}.(iv)sup∑k∈z(w1(Dk+1))-r/p(V(|Dk+1|)-V(|Dk|))r/r2＜∞.(d)若r1≤r2，則下列條件等價(jià)：(i)∧r1(u)()∧q,r22(w2).(ii)supD↓w2/(D)1/q/U(|D|)1/

7、r1＜∞.(e)若r1≤r2，則下列條件等價(jià)：(i)∧p,r12(w1)()∧q,r22(w2)(ii)supD↓w2(D)1/q/w1(D)1/p＜∞(f)若r1≤r2，則下列條件等價(jià)：(i)∧p,r12(w1)()∧r2(v)(ii)supD↓V(|D|)1/r2/w1(D)1/p＜∞. 定理2.2.1.12設(shè)u，u是R+上的兩個(gè)權(quán)，u是遞減函數(shù)，v是可積的，0＜p＜q＜∞，則∧q2(uv)()∧q(u)[∧p(v)],∧q

8、,p2(uv)()∧q(u)[∧p(v)]. 定理2.2.1.13設(shè)u，v是R+上的兩個(gè)權(quán)，u是遞減函數(shù)且是可積的，0＜q＜p＜∞，則∧p2(uv)()∧q(uv)[∧p(v)]，∧p,q2，q(uv)()∧q(u)[∧p(v)]. 定理2.2.2.3設(shè)0＜p＜∞，0＜q≤∞，那么‖·‖∧p,q2(w)是一個(gè)準(zhǔn)模當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)C＞0使得∫Dw(2x)dx≤C∫Dw(x)dx(A)D↓,D∈R2+.并且，對于這個(gè)準(zhǔn)模

9、，當(dāng)0＜p＜∞，0＜q＜∞時(shí)，∧p,q2(w)成為一個(gè)完備的準(zhǔn)?？臻g. 定理2.2.3.2若1＜p＜∞，1≤q≤∞，則下列的條件是等價(jià)的：(i)w∈Bq(2)p,q.(ii)S2,1，1：∧p,q2(w)→∧p,q2(w)是有界的.(iii)如果()f()=‖S((f**yx)*w)‖Lp,q，則()·()是等價(jià)于‖·‖∧p,q2(w)的一個(gè)模.(iv)準(zhǔn)?！琭‖(2)∧p,q2(w)=‖S2(f*yx)‖Lp,q(w)=‖f*