隨機環(huán)境中下臨界分枝過程中的一些極限定理.pdf

1、本文給定隨機環(huán)境ζ，其中ζ:={ζn}={ζn(ω)：n=0,1,2…}是(Ω，F(xiàn),P)上的平穩(wěn)遍歷序列，{Zn，n≥0}是在隨機環(huán)境ζ中的分枝過程，則環(huán)境序列ζ的一個實現(xiàn)決定了分枝過程{Zn，n≥0}一個繁衍概率母函數(shù)序列{fn}(n≥0)，其中fn:=fn(s):=fζn(s)=∞∑i=0Pi(ζn)si，Pi(ζn)≥0且∞∑i=0Pi(ζn)=1，(n≥0)。本文研究的隨機環(huán)境中分枝過程{Zn，n≥0}是一族非時齊的分枝過程并且

2、在其繁衍母函數(shù)序列{fn}(n≥0)獨立同分布的條件下其繁衍規(guī)律與隨機環(huán)境中Gaton-Watson過程種族繁衍規(guī)律相同。根據(jù)定義Z0=1、Zn+1=Zn∑i=1Xn，i(n≥0)，在環(huán)境序列ζ的條件下，{Xn,i；i≥1}是彼此獨立且獨立于Zn的實值隨機變量并有共同的概率母函數(shù)。 因此E[szn|ζ]=fζ0(fζ1(…fζn-1(s)…))，0≤s≤1，又因為ζ與母函數(shù)序列{fn}(n≥0)是一一對應的，為方便可將{fn}(

3、n≥0)當成環(huán)境序列作為給定條件，則當Z0=1時有E(szn|，f0，f1，…)=f0(f1(…fn-1(s)…))，0≤s≤1，特別，當對上式求導并令s=1時則得E(Zn|f0，f1，…)=f0'(1)f1'(1)…fn-1(1)。在Z0已知的情況下，可以看出{Zn，n≥0}的分布可由繁衍母函數(shù)序列{fn}(n≥0)具體表出。在fn獨立同分布和Elogf0(1)存在的條件下由大數(shù)定理有l(wèi)imn→∞1/nlogE(Zn|f0,f1，…)

4、=limn→∞1/nn∑i=1logfi-1'(1)a.s=Elogf'(1)其中f表示與fn有同分布的概率母函數(shù)，f'(1)表示每個個體孩子數(shù)的均值。隨機環(huán)境中的分枝過程{Zn，n≥0}根據(jù)Elogf'(1)的取值不同將其分類，具體而言可按照Elogf'(1)＞0、Elogf'(1)=0和Elogf'(1)＜0三種情況，而相應將分枝過程{Zn，n≥0}分為是上臨界分枝過程、臨界分枝過程和下臨界的分枝過程。眾所周知在臨界和下臨界分枝過程

5、中，當n→∞時，第n代個體數(shù)Zn是依概率1趨于0的。特別，對于下臨界的分枝過程{Zn，n≥0}，其第n代的個體的存活概率P(Zn＞0)以很快的指數(shù)級形式衰退，且其衰退速度依賴于E[f'(1)logf'(1)]的取值，更具體是依賴E[f'(1)logf'(1)]小于0，E[f'(1)logf'(1)]等于0還是E[f'(1)logf'(1)]大于0。在下臨界的情況(即Elogf'(1)＜0時)，根據(jù)E[f'(1)logf'(1)]的取值不

6、同隨機環(huán)境中的分枝過程{Zn，n≥0}可進一步細分，即按E[f'(1)logf'(1)]＜0，E[f'(1)logf'(1)]=0和三種情況將下臨界的分枝過程{Zn，n≥0}相應分為強下臨界的分枝過程，中下臨界的分枝過程和弱下臨界的分枝過程。在E[f'(1)logf'(1)]＜0(強下臨界)時P(Zn＞0)～c1(Ef'(1))n即分枝過程{Zn，n≥0}第n代的個體數(shù)的存活概率以c1(Ef'(1))n的指數(shù)級的速度衰退，當在E[f'(

7、1)logf'(1)]=0(中下臨界)時P(Zn＞0)～c2n-1/2(Ef'(1))n即分枝過程{Zn，n≥0}第n代的個體數(shù)的存活概率以c2n-1/2(Ef'(1))n的指數(shù)級的速度衰退，當在E[f'(1)logf'(1)]＞0(弱下臨界)時P(Zn＞0)～c3n-3/2(inf0≤1≤1Ef'(1)t)n即分枝過程{Zn，n≥0}第n代的個體數(shù)的存活概率以c3n-3/2(infEf'(1)')n的指數(shù)級的速度衰退。 本文在

8、f'(1)logf'(1)可積的假設下和前人研究出的在下臨界分枝過程{Zn，n≥0}存活概率P(Zn＞0)的漸近行為基礎上利用測度變換和隨機游動的有關知識確定了在隨機環(huán)境中下臨界分枝過程{Zn，n≥0}在強下臨界、中下臨界前兩種情況下，存活概率P(Zn＞0)的精確的漸近行為(即確定了c1和c2的具體表達式)。而且證明在Zn＞0的條件下，Zn有非退化的極限分布。 在強下臨界下存活概率P(Zn＞0)的精確的漸近行為為P(Zn＞0)～

9、c1(Ef'(1))n，其中c1=E(1+∞∑k=1ξk-1exp((S)k))-1，并證明了Zn＞0的條件下，Zn有非退化的極限分布limn→∞P(Zn=k|Zn＞0)=q1(k)(k≥1)這里n∑i=1q1(k)=1且n∑i=1kq1(k)＜∞。在中下臨界存活概率P(Zn＞0)的精確的漸近行為為：當n→∞，P(Zn＞0)～c2n-1/2(Ef'(1))n其中c2：=limn→∞n1/2E[exp(-(S)n)(1-fn,0(0))]