非線性波、幾何可積性與群分類.pdf

1、本文以著名數(shù)學家吳文俊先生所倡導的數(shù)學機械化思想為指導，以構(gòu)造性的變換及符號計算為輔助工具，從幾何和代數(shù)的角度來研究了非線性波，可積系統(tǒng)和微分方程的群理論分析中的一些問題：精確波解(行波解、孤立波解、周期解、泛函分離變量解)、Darboux變換、非等譜演化方程與幾何可積性、群分類、等價群，等價性變換、古典李對稱約化、守恒律分類． 第二和第三章主要考慮了非線性偏微分方程的精確解的構(gòu)造．首先介紹了張鴻慶教授提出的構(gòu)造非線性偏微分方程

2、精確解的AC=BD模式和C-D對理論，并且把這一模式推廣到研究(1+1)-維偏微分方程的保持形式的點變換．然后在第三章具體研究了這一模式的應用：(i)基于一類一階帶六次非線性項的常微分方程，提出了擴展的第一類橢圓方程方法，并以廣義的Zakharov方程組為例來展示該方法的有效性，獲得了大量新的有趣的精確解，其中包括鐘型和扭結(jié)型孤波解，亮和暗孤立波解，三角周期波解等；(ii)基于一類投影Riccati方程，提出了一種新的變系數(shù)投影Ricc

3、ati方程展開法．利用該方法，獲得(2+1)-維廣義Broer-Kaup方程的許多有趣的新的類孤波解和有理解，當把解中的某些任意函數(shù)取為行波變換時，還可得到許多具有重要物理意義的行波解；(iii)構(gòu)造了四類(1+1)-維孤子方程的三種顯式的N-重Darboux變換，利用這些變換，獲得了它們以及(2+1)-維Kadomtsev-Petviashvili方程和修正的Kadomtsev-Petviashvili方程的有趣的(2N-1)和(2N

4、)-孤子解，而且所有的變換和解都用類-Vandermonde行列式表示，使得其形式相當?shù)暮啙崳?近年來，人們對孤子和可積系統(tǒng)理論中的非等譜演化方程，即其相應譜問題具有時間依賴的譜參數(shù)η，越來越感興趣．第四章給出了兩類演化方程u<,t>=F(x，t，u，u<,x>,…,u<'k><,x>)和u<,xt>=G(x，t，u，u<,x>…,u<'k><,x>)在假設(shè)η為x，t的可微函數(shù)下描述偽球曲面(幾何可積)的完整刻畫．因此提供了一個

5、系統(tǒng)的程序確定一個非等譜線性問題，使得它是給定的非等譜演化方程的可積性條件．從而為解決可積系統(tǒng)理論中的核心問題之一：給定一個非線性微分方程，判斷它是否Lax意義下可積，即是否可寫成一對線性問題的可積性條件提供了一種重要的幾何途徑．上述內(nèi)容形成本文的第一部分． 微分方程的群分類，特別是完備的群分類是微分方程群理論分析領(lǐng)域經(jīng)典而又非常困難的問題之一．第五章利用相容性方法以及附加的等價性變換，給出了一類帶有變系數(shù)函數(shù)f的(1+1)-維

6、非線性電報方程f(x)u<,tt>=(H(u)u<,x>)<,x>+K(u)u<,x>的完備群分類．結(jié)果獲得了大量新的有趣的具有非平凡變系數(shù)函數(shù)的非線性不變模型，它們都具有非平凡的對稱代數(shù)，而且這些對稱代數(shù)至多是五維的．作為上述分類結(jié)果的應用，還給出了非線性電報方程u<,tt>=(H(u)u<,x>)<,x>+K(u)u<,x>的完備群分類．另外，還研究了所有不變模型的附加的等價性變換，并且通過利用這些附加的等價性變換，古典Lie約化方

7、法以及一般條件對稱方法，給出了某些特殊的變系數(shù)非線性不變模型與非線性電報方程的精確解和泛函分離變量解．最后還給出該類變系數(shù)非線性電報方程在等價性變換群下具有零階特征的局部守恒律的分類．第六章利用古典無窮小算法，等價性變換技巧和低維抽象李代數(shù)的分類理論給出了一般KdV-類非線性演化方程u<,t>=F(t，x，u，u<,x>，u<,xx>)u<,xxx>+G(t，x，u，u<,x>，u<,xx>)在四維及四維以下李代數(shù)下不變的群分類．證明了