非線性發(fā)展方程求解與可積系統(tǒng).pdf

1、孤立子是應(yīng)用數(shù)學和數(shù)學物理的一個重要組成部分。在數(shù)學中，孤立子理解為非線性演化方程局部化的行波解，經(jīng)過相互碰撞后，不改變波形和速度。孤立子已廣泛地應(yīng)用于諸如基本粒子理論、固體理論、非線性光學等一系列科學領(lǐng)域中。
　　本文首先回顧了孤立子概念的發(fā)現(xiàn)過程以及探究孤立子的意義。然后從非線性發(fā)展方程的精確解，對稱理論以及可積系統(tǒng)理論等方面介紹了孤立子理論的研究內(nèi)容及發(fā)展概況。
　　尋求非線性發(fā)展方程的精確解的齊次平衡法是將非線性發(fā)展

2、方程化為常微分方程，再假設(shè)該常微分方程的解可以表示為某函數(shù)的有限次多項式的形式，平衡具體的常微分方程的線性最高項與非線性項，進一步確定方程解的具體形式，得到一超定方程組，求解該方程組即可得到原方程或方程組的精確解。本文對齊次平衡法中的目標方程做了改進，并得到了該方程的多組解，特別是對所求方程的形式解做了改進，即引進了一類新的變量，由此得到耦合Itó方程的幾類精確解，包括雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解、橢圓函數(shù)解等。
　　屠格式做為尋求可積

3、Hamilton系統(tǒng)的方法，其中的跡恒等式是尋求非線性發(fā)展方程族的Hamilton結(jié)構(gòu)的有效工具。一類大可積系統(tǒng)稱為可積耦合，它是含多個位勢分量的一類擴展可積模型，在研究可積系統(tǒng)的統(tǒng)一表示、研究Virasoro代數(shù)及遺傳對稱等方面具有潛在應(yīng)用價值。因此可積耦合是可積系統(tǒng)理論的研究熱點之一。由于跡恒等式無法尋求可積耦合的Hamilton結(jié)構(gòu)，所以人們提出了二次型恒等式，它是跡恒等式的推廣，是尋求可積耦合的Hamilton結(jié)構(gòu)的有效方法。本

4、文通過構(gòu)造新的Lie代數(shù)及其相應(yīng)的loop代數(shù)，在零曲率方程框架下得到了屠族的雙可積耦合，最后利用二次型恒等式得到了該族的一類可積耦合的Hamilton結(jié)構(gòu)，并且是Liouville可積的。
　　接著，通過對方矩陣Lie代數(shù)的分類構(gòu)造了一類新的高維Lie代數(shù)及其一類loop代數(shù)，由零曲率方程生成雙可積耦合，作為應(yīng)用例子得到了著名的AKNS方程族的雙可積耦合。
　　然后，本文在構(gòu)造了一類列向量Lie代數(shù)及其一類loop代數(shù)的基

5、礎(chǔ)上，由GJ譜問題得到了一類廣義AKNS方程族，借助于Lie代數(shù)間的同構(gòu)關(guān)系，由跡恒等式得到了該方程族的Hamilton結(jié)構(gòu)。通過擴展該Lie代數(shù)為一個高維的列向量Lie代數(shù)，構(gòu)造了其一個相應(yīng)的loop代數(shù)，由屠格式得到了該廣義AKNS族的一類可積耦合，再由二次型恒等式得到了其Hamilton結(jié)構(gòu)。
　　最后本文研究了Li族和屠族的可積耦合，將已知的一個Lie代數(shù)擴展成一個高維的Lie代數(shù)，由Lie代數(shù)的分次得到了該Lie代數(shù)的兩