非線性發(fā)展方程的系統(tǒng)求解方法及其精確解析解.pdf

1、隨著科學技術(shù)的發(fā)展,在自然科學和社會科學領(lǐng)域中廣泛存在著的非線性問題,越來越引起人們的關(guān)注,而且許多非線性問題的研究最終可歸結(jié)為非線性發(fā)展方程來描述,因而如何得到它們的精確解對研究相關(guān)的非線性問題非常重要.至今比較成功的系統(tǒng)求解方法有散射反演法,Hirota方法,Backlund變換法和齊次平衡法.第一章介紹孤立予理論發(fā)展概況,詳細推導(dǎo)了在非線性方程理論研究中具有重要意義的非線性波動方程KdV方程,并且研究了孤立子相互作用問題,分析表明

2、孤立子碰撞以后形狀保持穩(wěn)定.第二章介紹散射反演法,它的核心是將非線性發(fā)展方程轉(zhuǎn)化為三個線性方程求解.該文運用此方法解決了KdV方程的初值問題,得到了單孤立子解、雙孤立子解和N個孤立予解.第三章介紹Backlund變換法,它是建立不同方程解之間聯(lián)系,或同一方程不同解之問聯(lián)系的一種變換方法.該文應(yīng)用這個變換方法分別建立Burgers方程和Sine-Gordon方程的Backlund變換關(guān)系,并且得到了一些有意義的精確解析解.第四章運用行波法

3、,精確求解了KdV方程和Sine-Gordon方程.獲得兩種重要的行波解--周期解和孤立波解,并且定性分析了解的幾何性質(zhì).第五章對近年束發(fā)展起來的雙曲正切函數(shù)展開法加以改進,采用新的變換函數(shù),得到了KdV方程和非線性Klein-Gordon方程的一些新的孤立波解.其次,分別采用2001年提出的Jacobi橢圓函數(shù)展開法和該文由此擴展而來的雙橢圓函數(shù)展開法,求解了一大類非線性發(fā)展方程,得到了一系列新的周期解.而且這些周期解在極限條件下可以

4、退化為孤立波解,由此表明上述兩種展開法是一種高效實用的方法.為了討論了Jacobi橢圓函數(shù)展開法的適用性問題,我們最先引進"秩"的概念,指出只要非線性發(fā)展方程的各項的"秩"滿足相同的奇偶性,就可以用這種展開法求解.最后介紹在橢圓函數(shù)展開法基礎(chǔ)上發(fā)展而來的,利用Lam e函數(shù)求解非線性發(fā)展方程多級近似解的方法,并且求解了非線性Schr dinger方程,非線性BBM方程,Zakharov方程,KP方程,Boussinesq方程和立方非線性