非線(xiàn)性發(fā)展方程求解法的研究與數(shù)學(xué)機(jī)械化實(shí)現(xiàn).pdf

1、本文根據(jù)數(shù)學(xué)機(jī)械化思想，以計(jì)算機(jī)符號(hào)和數(shù)值計(jì)算軟件為工具，研究了孤立子理論中若干重要的非線(xiàn)性發(fā)展方程的求解方法及其相關(guān)問(wèn)題，提出和發(fā)展了一系列求非線(xiàn)性發(fā)展方程解的方法，并在計(jì)算系統(tǒng) Maple 或 MATLAB 上予以機(jī)械化實(shí)現(xiàn)。將數(shù)學(xué)機(jī)械化方法應(yīng)用于相關(guān)學(xué)科，開(kāi)發(fā)了數(shù)學(xué)機(jī)械化軟件平臺(tái)。主要的工作如下： 第一章介紹了孤立子理論和非線(xiàn)性發(fā)展方程求解理論及其數(shù)學(xué)機(jī)械化研究的歷史發(fā)展和現(xiàn)狀．同時(shí)介紹了一些關(guān)于這些學(xué)科的國(guó)內(nèi)外學(xué)者所取得

2、的成果。 第二章介紹了構(gòu)造非線(xiàn)性發(fā)展方程精確解的“AC=BD”模式和構(gòu)造“C-D”對(duì)的算法，利用 Maple和“AC = BD+R”帶余除法構(gòu)造精確解的具體算法。 第三章基于將非線(xiàn)性發(fā)展方程求解統(tǒng)一化，算法化，機(jī)械化的思想，運(yùn)用吳方法和符號(hào)計(jì)算的工具，建立了廣義雙曲函數(shù)的理論，提出了求非線(xiàn)性發(fā)展方程的廣義雙曲函數(shù)解和研究解的長(zhǎng)時(shí)間行態(tài)及其相關(guān)問(wèn)題的一系列方法。主要內(nèi)容如下： (1)給出廣義雙曲函數(shù)的定義和代數(shù)與微

3、分性質(zhì)及其證明，構(gòu)造非線(xiàn)性發(fā)展方程解的廣義雙曲函數(shù)變換的定義和一些具體形式。 (2)提出了廣義雙曲函數(shù)-Backlund 變換方法，將其應(yīng)用于解非線(xiàn)性發(fā)展方程組，求出了許多新的更一般的精確解。用計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬方法研究了一些解的長(zhǎng)時(shí)間的行態(tài)，結(jié)果表明這些新解具有良好的長(zhǎng)時(shí)間的穩(wěn)定性。 (3)提出了劃分非線(xiàn)性發(fā)展方程的廣義雙曲函數(shù)解的長(zhǎng)時(shí)間行態(tài)的三段法，并將其應(yīng)用于研究一些非線(xiàn)性發(fā)展方程的廣義雙曲函數(shù)解的長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定性，檢驗(yàn)該

4、方法的有效性。另外，還分別提出了修正廣義雙曲函數(shù)解和變系數(shù)解的長(zhǎng)時(shí)間行態(tài)的方法。 (4)根據(jù)WTC方法和齊次平衡法構(gòu)造 Backlund 變換的方法的思想，提出了一種構(gòu)造 Backlund變換的方法及其機(jī)械化算法，并將該方法應(yīng)用于構(gòu)造一些高階高維的非線(xiàn)性發(fā)展方程的 Backlund 變換，檢驗(yàn)了有效性和可靠性。另外，還提出了與該方法相關(guān)的定理，并給出了證明。 (5)利用計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬方法，廣泛地研究了非線(xiàn)性發(fā)展方程的廣義

5、雙陷函數(shù)解中的三個(gè)參數(shù)的不同取值對(duì)該解的局部性質(zhì)和長(zhǎng)時(shí)間行態(tài)的影響，一個(gè)非線(xiàn)性發(fā)展方程在同一種自 -Backlund 變換下，取不同類(lèi)型的種子解對(duì)該發(fā)展方程解的個(gè)數(shù)和解的形式的影響，不同類(lèi)型的種子解對(duì)解的主部的影響，各種類(lèi)型的廣義雙曲函數(shù)解的長(zhǎng)時(shí)間行態(tài)，不同類(lèi)型的非行波解和行波解的長(zhǎng)時(shí)間行態(tài)的比較等問(wèn)題，有一些新的發(fā)現(xiàn)，提出四個(gè)猜測(cè)。 第四章以符號(hào)計(jì)算軟件 Maple 為工具，發(fā)展了構(gòu)造非線(xiàn)性發(fā)展方程精確解的改進(jìn)的 F- 展開(kāi)法

6、和推廣的射影 -Riccati 方程法，提出了如下方法及其定理： (1)構(gòu)造了廣義雙曲函數(shù) -Riccati 方程，提出了有關(guān)廣義雙曲函數(shù) -Riccati 方程具有新的更一般的廣義雙曲函數(shù)解的定理、廣義的射影 Riccati 方程和射影 Riccati 方程是廣義雙曲函數(shù) -Riccati 方程的特例的定理，并且用 Maple 機(jī)械化方法給出了這兩個(gè)定理的證明。 (2)利用廣義雙曲函數(shù) -Riccati 方程，提出了廣

7、義雙曲函數(shù) -Riccati 方法，并用該方法求出了非線(xiàn)性發(fā)展方程的新的更一般形式的解。 (3)通過(guò)構(gòu)造兩類(lèi)更一般的變換，提出了廣義 F- 展開(kāi)法和擴(kuò)展的廣義 F- 展開(kāi)法。并將這些方法分別應(yīng)用到一些非線(xiàn)性發(fā)展方程，結(jié)果成功地獲得了這些方程的許多新的更一般的精確解。 第五章構(gòu)造更一般的變換，給出類(lèi) N 孤子解的定義和猜測(cè) 5，發(fā)展了 Exp- 函數(shù)方法，提出了Exp-Backlund 變換方法和 Exp- 類(lèi) N 孤子方

8、法。利用這兩種新方法獲得了一些非線(xiàn)性發(fā)展方程的包含行波解和非行波解的更一般形式的精確解，并用計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬方法研究了這類(lèi)解的長(zhǎng)時(shí)間行態(tài)。 第六章發(fā)展了求非線(xiàn)性發(fā)展方程的行波解的代數(shù)方法，提出了如下方法及其相關(guān)的定理： (1)提出了一般形式的變換和相關(guān)定理，然后用Maple機(jī)械化方法證明了該定理。 (2)提出了求一階任意次非線(xiàn)性常微分方程的精確解的機(jī)械化算法及其 Maple 程序，通過(guò)求六、八、十、十二次非線(xiàn)性常微

9、分方程的某些一般形式的新的精確解，驗(yàn)證了該方法的有效性和可靠性。 (3)利用一階任意次非線(xiàn)性常微分方程及其新的精確解，提出了廣義的代數(shù)方法和擴(kuò)展的廣義的代數(shù)方法，并將它們分別應(yīng)用到一些非線(xiàn)性發(fā)展方程，結(jié)果得到許多新的行波解和非行波解。 第七章改進(jìn)了一些數(shù)值算法，提出了一類(lèi)求非線(xiàn)性發(fā)展方程解的數(shù)值與解析混合運(yùn)算的方法，求解常微分方程初值問(wèn)題的改進(jìn)的亞當(dāng)斯方法等，提高了數(shù)值計(jì)算精度，并算法實(shí)現(xiàn)了機(jī)械化。另外，還提出了數(shù)值解、