算子的強(qiáng)不可約積分表示及其相似不變量.pdf

1、在算子理論中，尋找算子的相似不變量一直是頗受關(guān)注的問題.我們知道在有限維的復(fù)的Hilbert空間上，Jordan標(biāo)準(zhǔn)型定理成功的刻畫了算子的相似不變量.正是因?yàn)檫@樣，Jordan矩陣被看成是構(gòu)造有限維Hilbert空間上算子的基本單元.而由此也引出了人們對(duì)約化理論的探索.
　　 在復(fù)的可分的Hilbert空間上，有界線性算子的結(jié)構(gòu)就變得復(fù)雜的多.人們一直在嘗試用各種辦法對(duì)Jordan標(biāo)準(zhǔn)型定理進(jìn)行推廣，其目的就是希望使有界線性算

2、子的內(nèi)在結(jié)構(gòu)變得更清晰.人們?cè)谘芯恐杏龅搅烁鞣N問題，同時(shí)也取得了很多進(jìn)展.在本文的引言中，我們?cè)敿?xì)的介紹了這一研究的發(fā)展過程，以及不同學(xué)派取得的進(jìn)展.需要指出的是上世紀(jì)七十年代末，江澤堅(jiān)提出使用強(qiáng)不可約算子來代替復(fù)可分的Hilbert空間上的Jordan矩陣.同時(shí)他也指出存在有界線性算子不能寫成強(qiáng)不可約算子的直接和.此后由蔣春瀾帶領(lǐng)的的學(xué)術(shù)梯隊(duì)圍繞強(qiáng)不可約算子展開了相關(guān)的研究.在此后的三十年中，這個(gè)學(xué)術(shù)梯隊(duì)不斷的取得進(jìn)展.
　　

3、 本文的主要工作正是在上述學(xué)術(shù)梯隊(duì)的工作的啟發(fā)下展開的.我們知道有限維Hilbert空間上的對(duì)角算子(1維空間上算子的直接和)可以看成是積分的離散形式.推而廣之，我們可以將有界線性算子的直接和看成有界線性算子的直接積分.這種概念上的推廣使得我們需要引入測(cè)度論和von Neumann代數(shù)的相關(guān)理論.承接前面的工作，我們開始考慮是否每個(gè)有界線性算子都可以寫成強(qiáng)不可約算子的直接積分?我們發(fā)現(xiàn)仍然存在有界線性算子不能寫成強(qiáng)不可約算子的直接積分.

4、
　　 在本文的第一章中，我們構(gòu)造了兩個(gè)不能寫成強(qiáng)不可約算子的直接積分的有界線性算子的例子.進(jìn)而我們證明了一個(gè)Hilbert空間上的有界線性算子A相似于強(qiáng)不可約算子的直接積分當(dāng)且僅當(dāng)在算子A的換位代數(shù)中存在一個(gè)有界的極大交換的冪等算子的集合.應(yīng)用這一充分必要條件，我們?cè)诘谝徽碌淖詈笈e例說明了哪些算子類中的算子可以相似于強(qiáng)不可約算子的直接積分.同時(shí)我們也指出全體可以相似于強(qiáng)不可約算子的直接積分的算子組成()(())的一個(gè)稠子集.<

5、br>　　 在本文的第二章中，我們指出在復(fù)可分的無窮維Hilbert空間上，單位算子的強(qiáng)不可約分解不具有相似意義下的唯一性.由這個(gè)特例我們可以構(gòu)造一般的非正規(guī)算子的例子，使得這種非正規(guī)算子的強(qiáng)不可約分解在相似意義下不具有唯一性.由此我們給出并證明了一個(gè)有界線性算子的強(qiáng)不可約分解在相似意義下唯一的必要條件.在討論中，我們引入了算子矩陣的上三角表示，這種表示不僅簡(jiǎn)化了相應(yīng)結(jié)果的證明過程而且使得一些問題變得很直觀.我們發(fā)現(xiàn)在算子矩陣的上三角

6、表示中，主對(duì)角線上的乘法算子的重?cái)?shù)函數(shù)與強(qiáng)不可約分解的唯一性具有重要關(guān)系，同時(shí)第一條上次對(duì)角線上的乘法算子的可逆性與直接積分分解的強(qiáng)不可約性也具有直接關(guān)系.進(jìn)而我們證明了一類有界線性算子其強(qiáng)不可約分解在相似意義下是唯一的.在這一章的后兩節(jié)中，我們針對(duì)算子矩陣上三角表示中第一條上次對(duì)角線上的乘法算子的可逆性分別進(jìn)行了討論.通過比較，我們可知當(dāng)?shù)谝粭l上次對(duì)角線上的乘法算子均可逆時(shí)，我們得到了更好的結(jié)果.本文針對(duì)Jordan標(biāo)準(zhǔn)型定理的存在性