全純曲線的相似分類和Elliott不變量.pdf

1、分類問(wèn)題或?qū)ふ也蛔兞繂?wèn)題一直是數(shù)學(xué)研究所關(guān)注的重要課題之一.上世紀(jì)70年代，G.Elliott最早提出對(duì)于AF代數(shù)A而言其Ko群，半群及單位元組成的對(duì)(Ko(A),V(A)，[1A]))(稱為Elliott不變量)是其完全相似不變量.EUiott不變量在分類領(lǐng)域中尤其是C*代數(shù)的分類有著舉足輕重的作用. 關(guān)于全純曲線的分類問(wèn)題最早于1978年幾何學(xué)家M.J.Cowen和算子理論家R.G.Douglas提出，他們綜合利用復(fù)幾何和算

2、子理論的知識(shí)和技巧在全純復(fù)叢上建立了Clabi剛性定理并定義了一種曲率函數(shù).這種曲率函數(shù)被證明是全純曲線的酉不變量.一個(gè)自然的問(wèn)題就是什么是全純曲線的相似不變量，M.J.Cowen和R.G.Douglas猜測(cè)對(duì)于一維的全純曲線該曲率函數(shù)也應(yīng)是其相似不變量.但是，后來(lái)人們通過(guò)反例證明他們的猜測(cè)并不合理. 本文的主要工作是它在復(fù)幾何方向的應(yīng)用和對(duì)一類具體的C*代數(shù)-AI代數(shù)的分類問(wèn)題的研究.全文主要分為兩部分： 第一部分是關(guān)

3、于全純曲線的相似分類問(wèn)題。通過(guò)給出全純曲線的換位代數(shù)的概念，證明了全純曲線的換位代數(shù)的Ko群和序群(Elliott不變量)是一維全純曲線與大部分高維曲線的的完全相似不變量.眾所周知，仿緊流行x上的向量叢上的Swan定理證明了M∞(C(X))中兩個(gè)投影等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)它們誘導(dǎo)的x上的向量叢同構(gòu).繼而證明了x上的向量叢的同構(gòu)類與M∞(C(X))上投影的代數(shù)等價(jià)類相一致，從而建立了代數(shù)K理論與拓?fù)銴理論之間的聯(lián)系.但是在復(fù)幾何中對(duì)全純復(fù)叢而言，相

4、應(yīng)的Swan定理并不存在.本文的分類定理把兩個(gè)全純曲線f，g的相似性問(wèn)題和f 9換位的Ko群的計(jì)算密切相連，從這種意義上講建立了全純復(fù)叢的Swan定理. 第二部分是具有理想性質(zhì)的AI代數(shù)的分類問(wèn)題，屬于C*代數(shù)分類的研究，近似區(qū)間代數(shù)A(approximateinterval algebra簡(jiǎn)稱AI代數(shù))是C[0.1]上的矩陣代數(shù)有限和的歸納極限，利用K0群和跡態(tài)空間(Elliott不變量)有單位元的單的AI代數(shù)進(jìn)行了分類.19

5、95年，Kenneth H.Stevens推廣了G.Elliott的結(jié)果.但是他考慮的只是有單位元的近似可分的具有理想性質(zhì)的AI代數(shù)(每個(gè)雙邊的閉理想都由其投影生成).本研究去掉了Stevens文章中有單位元和近似可分的條件，而且證明方法與Stevens的方法完全不同.在他的證明里，Stevens引進(jìn)了許多依賴于[0，1]區(qū)間的概念，這些概念無(wú)法推廣到高維情形.在本文中，證明的dichotomy定理可以避免使用Stevens文章中技巧和