無交換關(guān)系代數(shù)和零因子圖.pdf

1、用圖的方式表示代數(shù)結(jié)構(gòu)，不僅可以將抽象的知識直觀化，而且還可以利用圖的結(jié)構(gòu)研究代數(shù)的性質(zhì)，這其中比較有代表性的應(yīng)該是箭圖和零因子圖。本文利用這一思想方法，主要研究單項(xiàng)式代數(shù)的推廣、Nakayama猜想的證明以及von Neumann正則環(huán)上的圖結(jié)構(gòu)。我們分三章進(jìn)行討論。
　　 第一章簡要介紹研究的背景、思想方法和本文的主要結(jié)果。
　　 第二章主要討論了單項(xiàng)式代數(shù)的推廣，定義了一類新的代數(shù)-無交換關(guān)系代數(shù)，我們研究了其基本

2、性質(zhì)并相應(yīng)地在這類代數(shù)上證明了Nakayama猜想和Auslander-Reiten猜想，從而推廣了前人的結(jié)果。作為一個公開問題(見文[14])，推廣單項(xiàng)式代數(shù)是一個十分重要的研究課題，這不僅因?yàn)槠浣Y(jié)構(gòu)簡單，是許多問題研究的起點(diǎn)，而且許多著名的猜想在單項(xiàng)式代數(shù)上是成立的(見文獻(xiàn)[28][29])。在§2.2中，根據(jù)箭圖和路代數(shù)的思想方法，通過在一般Artin代數(shù)上引入一套類似于路代數(shù)的概念和方法，定義了一類排除了交換關(guān)系的代數(shù)，稱之為無

3、交換關(guān)系代數(shù)(見定義2.2.9)?！?.3則證明了一個重要結(jié)論：假定K是域，并且Λ≌KΓ/I是一個單項(xiàng)式代數(shù)，那么Λ是一個無交換關(guān)系的代數(shù)(見定理2.3.5).這就說明了單項(xiàng)式代數(shù)是無交換關(guān)系代數(shù)的一種特例.緊接著，我們給出了幾個重要例子，說明了反之是不一定成立的，從而證明了這種推廣是有效的非平凡推廣。在§2.4和§2.5中，我們證明在推廣以后的這類代數(shù)上Nakayama猜想和Auslander-Reiten猜想仍然是成立的.我們將右A

4、rtin代數(shù)Λ中的元素視為投射模之間的同態(tài)，結(jié)合箭圖理論的思想方法，討論了控制維數(shù)大于等于1(或者2)的右Artin代數(shù)的性質(zhì)，得到了本文的一個最重要結(jié)論：控制維數(shù)大于等于2的右Artin代數(shù)Λ是Nakayana代數(shù)的充分且必要條件是Λ是無交換關(guān)系的代數(shù)(見定理2.5.9).從而在這類代數(shù)上證明了Nakayama猜想和Auslander-Reiten猜想。
　　 第三章主要討論von Neumann正則環(huán)上的圖結(jié)構(gòu)。對零因子圖的

5、研究，一方面為代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的研究注入了新的思想方法，另一方面為圖論的研究提供了新的研究對象和應(yīng)用平臺。目前對有向零因子圖的研究主要集中在有限環(huán)上(見文[67]-[69])，對于一般von Neumann正則環(huán)R的有向零因子圖Γ(R)，我們在§3.2中刻畫了其連通性和頂點(diǎn)情況，證明了Γ(R)是連通的當(dāng)且僅當(dāng)R是直有限的；如果R是無單位元的正則環(huán)，那么Γ(R)是連通的當(dāng)且僅當(dāng)R無真的單邊恒等元.我們用Sour(R)，Sink(R)分

6、別表示有向零因子圖Γ(R)的源點(diǎn)和收點(diǎn)集合.那么我們有：
　　 (1)Sour(R)={a∈R| a是右可逆的但左不可逆}；
　　 (2)Sink(R)={a∈R| a是左可逆的但右不可逆}.根據(jù)零因子圖的構(gòu)造思想，在§3.3中，我們在一般環(huán)R上引入了一類新的圖結(jié)構(gòu)ΓN(R)，這種圖結(jié)構(gòu)相對于零因子圖而言，更多的反映了關(guān)于冪零元的信息.對正則環(huán)R，我們刻畫了ΓN(R)的連通性、直徑和圍長(見定理3.3.6)，以及當(dāng)ΓN(