二重Tame型遺傳代數(shù)的Ringel-Hall代數(shù)和Hopf超箭圖.pdf

1、1989年,Ringel定義了任意有限性環(huán)上的Hall代數(shù)(見文[Rin2]),其主要目的是為了探討箭圖表示與李代數(shù)和量子群之間的關(guān)系.隨后,許多數(shù)學(xué)工作者一直試圖利用有限域上有限維代數(shù)的Hall代數(shù)來實(shí)現(xiàn)李代數(shù)和量子群,已產(chǎn)生許多有重要意義的結(jié)果,見文[Rin3,Rin4,Rin6,Gr2,PX1-PX3,X,DX].Hall代數(shù)中由單模同構(gòu)類生成的子代數(shù)稱為合成代數(shù),合成代數(shù)在實(shí)現(xiàn)李代數(shù)和量子群的過程中起到重要作用,引起大家的廣泛研

2、究,見文[Rin3,Rin7,Gr2,X,GP,GZ,Zp2-Zp5,ZZ].另外,Hall多項(xiàng)式在計(jì)算相應(yīng)李代數(shù)和量子群的結(jié)構(gòu)常數(shù)時(shí)起到非常關(guān)鍵的作用,因此Hall多項(xiàng)式是否存在也是備受關(guān)注的問題,見文[Rin2,Rin6,Gu,P,Zsl].有限維遺傳代數(shù)的二重(duplicated)代數(shù)的傾斜模與 cluster范疇中的傾斜對(duì)象一一對(duì)應(yīng),引起我們對(duì)二重代數(shù)的研究興趣,見文[ABST1,Zs5].
　　 Hopf代數(shù)在上世紀(jì)

3、六十年代就引起了很多數(shù)學(xué)家的研究興趣.尤其近年來量子群的興起,特別是量子群與統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的Yang-Baxter方程之間深刻的聯(lián)系,Hopf代數(shù)已發(fā)展成為與物理等多個(gè)學(xué)科有密切聯(lián)系的代數(shù)學(xué)分支.用箭圖的方式來研究 Hopf代數(shù)始于上世紀(jì)九十年代,Cibils,Rosso,Green,Solberg,Van Oystaeyen和章璞等都有許多重要工作(見文[Ci,CR1,CR2,Gso,VZ]),在推動(dòng)Hopf代數(shù)的發(fā)展上起到不可忽視的作用

4、.
　　 本學(xué)位論文主要做了下面兩方面工作:
　　 一.研究了二重tame型遺傳代數(shù)的Ringel-Hall代數(shù)的結(jié)構(gòu),并得到二重tame型遺傳代數(shù)導(dǎo)出的李子代數(shù)；
　　 二.建立了Hopf超箭圖理論,并用箭圖理論研究了Hopf超代數(shù)和擬Hopf超代數(shù)這兩類重要的Hopf結(jié)構(gòu).
　　 本論文共分四部分:
　　 第一章是引言部分,我們介紹與本文有關(guān)的研究發(fā)展概況,較全面闡述論文的工作背景和思路.

5、r>　　 第二章,我們研究了二重tame型遺傳代數(shù)的Ringel-Hall代數(shù)和合成代數(shù)結(jié)構(gòu),證明了二重tame型遺傳代數(shù)的一些Hall多項(xiàng)式存在,并得到由二重tame型遺傳代數(shù)導(dǎo)出的李子代數(shù).主要結(jié)果如下:
　　 定理2.2.4設(shè)A為tame型遺傳代數(shù),A為A的二重代數(shù),M為不可分解A-模,則 u[M]∈l(A)當(dāng)且僅當(dāng) M為例外 A-模.
　　 定理2.2.7設(shè) A為tame型遺傳代數(shù),A為A的二重代數(shù),M為非單且

6、不可分解A-模,則 l(A)中的元素 u[M]可以寫成單 A-模同構(gòu)類的多重斜換位子.
　　 定理2.3.10設(shè) A為tame型遺傳代數(shù),A為A的二重代數(shù),X和 Y為不可分解A-模,則對(duì)任意的A-模 M,Hall多項(xiàng)式9XYM存在.
　　 第三章,建立了Hopf超箭圖理論,作為應(yīng)用給出了分次Hopf超代數(shù)的分類理論和一些重要的結(jié)構(gòu)性定理.主要結(jié)果如下；
　　 定理3.2.2設(shè)(Q,p)為超箭圖,則路超余代數(shù)(kQ

7、,p)具有分次Hopf超代數(shù)結(jié)構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)(Q,p)為由群和與之對(duì)應(yīng)的一個(gè)超分歧數(shù)據(jù)確定的Hopf超箭圖.
　　 推論3.2.3設(shè)G為群,C為群 G的共軛類集.對(duì)任意 C∈C,記 Zc為C中某個(gè)元的中心化子.設(shè) R=(Ro,R1)為G的一個(gè)超分歧數(shù)據(jù),其中 R0=∑c∈c Rc,0C和 R1=∑C∈C RC,1C.記相應(yīng)的Hopf超箭圖(Q(G,R0,R1),p)為(Q,p).則路超余代數(shù)(kQ,p)具有 Q0≌G的分次Hopf超

8、代數(shù)結(jié)構(gòu)與表示組{(VC,0)C∈C,(VC,1)C∈C)一一對(duì)應(yīng).其中 VC,0和 VC,1分別為維數(shù)是 RC,0和 RC,1的kZC-模,對(duì)任意 C∈C.
　　 命題3.3.1設(shè) H為點(diǎn)化Hopf超代數(shù),grH為由 H的余根濾鏈誘導(dǎo)的Hopf超代數(shù),則存在唯一的Hopf超箭圖(Q,p)以及路超余代數(shù)(kQ,p)上的分次Hopf超代數(shù),使得grH同構(gòu)于該分次Hopf超代數(shù)的一個(gè)包含后kQ0 kQ1的子Hopf超代數(shù).
　

9、　 第四章,用建立的Hopf超箭圖理論來研究擬Hopf超代數(shù).主要結(jié)果有:
　　 定理4.2.1設(shè)(Q,p)為超箭圖,則路超余代數(shù)(kQ,p)具有分次對(duì)偶擬Hopf超代數(shù)結(jié)構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)(Q,p)為Hopf超箭圖.
　　 命題4.2.3設(shè) G為群,(kG,φ,S,α,β)為對(duì)偶擬Hopf超代數(shù).取群G的一個(gè)超分歧數(shù)據(jù) R=R0 R1.設(shè)(Q,p)=(Q(G,R0,R1),p)為Hopf超箭圖.則路超余代數(shù)(kQ,p)具有分

10、次對(duì)偶擬Hopf超代數(shù)結(jié)構(gòu),其中以kQ0≌(kG,φ,S,α,β)作為子對(duì)偶擬Hopf超代數(shù),當(dāng)且僅當(dāng) kQ1具有 kG-quasi-Hopf超雙模結(jié)構(gòu).并且,路超余代數(shù)(kQ,p)上的分次對(duì)偶擬Hopf超代數(shù)結(jié)構(gòu)與 kQ1上的kG-quasi-Hopf超雙模結(jié)構(gòu)一一對(duì)應(yīng).
　　 命題4.2.4設(shè) H為點(diǎn)化對(duì)偶擬Hopf超代數(shù),grH為由H的余根濾鏈誘導(dǎo)的對(duì)偶擬Hopf超代數(shù),則存在唯一的Hopf超箭圖(Q,p)以及路超余代數(shù)(