求矩陣方程AXB=C的三對角約束解的幾種迭代解法.pdf

1、線性矩陣方程的求解問題及相應(yīng)的最小二乘問題是近年來數(shù)值代數(shù)領(lǐng)域研究和討論的重要課題之一,它在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),系統(tǒng)識別,結(jié)構(gòu)動力學(xué),自動控制理論,振動理論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.
　　 本篇碩士論文利用幾種迭代方法系統(tǒng)研究矩陣方程AXB=C的三對角解和三對角最小二乘解及其最佳逼近解.具體問題描述如下:這里的TRn×n表示n階三對角矩陣集合,‖·‖為矩陣Frobenius范數(shù).
　　 本文主要工作以及研究結(jié)果如下:
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2、.對于問題I,利用矩陣分解它有一般解,對稱解和反對稱解及其最佳逼近問題已有了研究,對三對角矩陣的研究沒有涉及,第二章利用迭代法研究它求三對角解及其最佳逼近解問題.在不考慮舍入誤差時,該迭代法能在有限步終止,而且通過迭代過程可自動判定矩陣方程在三對角矩陣集合上的相容性.
　　 2.對問題Ⅱ通過構(gòu)造具有短遞推格式的迭代方法,成功的解決了關(guān)于不相容矩陣方程AXB=C的三對角最小二乘解問題.在不考慮舍入誤差的情況下,構(gòu)造出來的迭代法對任

3、意的初始三對角矩陣都可以在有限步計(jì)算出在SE集合上的一個三對角最小二乘解,且通過選取特殊的初始矩陣,還可以得到相應(yīng)的三對角最小范數(shù)最小二乘解。而對于問題Ⅲ可等價轉(zhuǎn)化為求一個新的不相容矩陣方程的最小范數(shù)最小二乘解問題,并且證明了在最小二乘解得到之前迭代不會停止,由該迭代方法計(jì)算出來的逼近解可使得矩陣方程殘差的Frobenius范數(shù)在一個仿射子空間上達(dá)到極小,而且得到的殘差序列的Frobenius范數(shù)是單調(diào)遞減的.最后,給出數(shù)值例子.

4、>　　 3.不直接利用Kronecker積,得到了求不相容矩陣方程AXB=C的三對角最小二乘解問題的矩陣形式的LSQR方法.首先利用矩陣形式的雙對角化過程計(jì)算矩陣Krylov子空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,并且指出在實(shí)際的計(jì)算中矩陣形式的雙對角過程又決定了矩陣方程AXB=C三對角矩陣集合上的可解性.基于這個過程,約束矩陣方程AXB=C的三對角最小二乘問題轉(zhuǎn)化成了無約束線性方程的最小二乘問題,進(jìn)而利用經(jīng)典的LSQR算法來求解.另外,用預(yù)條件矩陣