度量數(shù)論中若干分形集.pdf

1、本文主要討論了使用Luroth展式逼近實(shí)數(shù)的效率問題,無(wú)窮迭代函數(shù)系中數(shù)字的增長(zhǎng)速度,以及1的β-展式的性質(zhì).我們得到了其中出現(xiàn)的一些分形集的Hausdorff維數(shù).
　　在第一章介紹本文的背景,第二章給出預(yù)備知識(shí)的基礎(chǔ)上,用了三章內(nèi)容分別對(duì)上述三方面的問題展開了詳細(xì)的論述.
　　在第三章,我們考慮使用Luroth展式的逼近因子來(lái)逼近實(shí)數(shù)的效率問題,我們發(fā)現(xiàn)Luroth展式逼近因子無(wú)窮次成為最佳逼近的點(diǎn)集是一個(gè)Lebesgu

2、e零測(cè)集,不過(guò)該集合的Hausdorff維數(shù)是嚴(yán)格大于0的,我們給出了一個(gè)下界的估計(jì).同時(shí),我們還證明了類似Jarnik定理的結(jié)果,說(shuō)明了將其中的連分?jǐn)?shù)展式逼近因子換成Luroth展式逼近因子相應(yīng)集合的Hausdorff維數(shù)減半.
　　在第四章,我們將連分?jǐn)?shù)展式部分商的概念推廣到無(wú)窮迭代函數(shù)系中,稱之為數(shù)字.我們考慮一類無(wú)窮迭代函數(shù)系中數(shù)字的增長(zhǎng)速度,將Wang和Wu以及Luczak關(guān)于連分?jǐn)?shù)的結(jié)果推廣到一類無(wú)窮迭代函數(shù)系上.具體

3、的,對(duì)于自然數(shù)的任意無(wú)限子集B,我們給出了數(shù)字限定在B中并趨于無(wú)窮的點(diǎn)所構(gòu)成集合的Hausdorff維數(shù).對(duì)于任意的a,b>1,給出了數(shù)字滿足an(x)>abn對(duì)任意的n成立以及對(duì)無(wú)窮多個(gè)n成立的點(diǎn)構(gòu)成集合的Hausdorff維數(shù)上界,并說(shuō)明在給定條件下,是沒有一致的下界的.在上述兩個(gè)維數(shù)結(jié)論中,無(wú)窮迭代函數(shù)系的壓縮比構(gòu)成級(jí)數(shù)的收斂指數(shù)起了關(guān)鍵的作用.此外,我們證明了對(duì)滿足條件的無(wú)窮迭代函數(shù)系,任意的趨于無(wú)窮的函數(shù)φ(n),都可以找到自

4、然數(shù)集的無(wú)窮子集B∈N,使得限定在此子集上收斂指數(shù)不變,但是數(shù)字限定在B中并且滿足an(x)>φ(n)對(duì)任意的n成立的點(diǎn)構(gòu)成集合的Hausdorff維數(shù)為0.從而說(shuō)明了第一個(gè)結(jié)果的最佳性.同時(shí)我們還證明了,對(duì)任意的實(shí)數(shù)s0∈[0,1]和趨于無(wú)窮的函數(shù)φ(n),都存在一個(gè)無(wú)窮迭代函數(shù)系,收斂指數(shù)為s0,但是an(x)>?(n)對(duì)任意的n成立的點(diǎn)構(gòu)成集合的Hausdorff維數(shù)為0.
　　在第五章,我們考慮1的β展式的性質(zhì),證明了對(duì)于