數(shù)論中的若干問題和進(jìn)展

1、數(shù)論中的若干問題和進(jìn)展,徐飛,一. 概述,Peano公理：自然數(shù)（正整數(shù)）和零。減法：整數(shù) Z。除法：有理數(shù) Q。極限：實數(shù) R。(π, √2, ? )求解代數(shù)方程 ：復(fù)數(shù) C。,一. 概述,數(shù)論大致分為兩類問題：1）素數(shù)問題。如Riemann猜想，Goldbach猜想等。2）整系數(shù)多項式方程的整數(shù)解。如Fermat猜想，BSD猜想等。,二. 素數(shù),如果正整數(shù)m整除正整數(shù)n，稱

2、m是n的一個因子。 如果正整數(shù)p的因子只有1和p，那么p稱為素數(shù)。如 2，3，5，7，11，13，17，19 等等。,二. 素數(shù),算術(shù)基本定理：任何一個正整數(shù)都可表示為素數(shù)的乘積。不考慮乘積秩序，表達(dá)式唯一。如：4=2x2, 6=2x3，12=2x2x3 等等。,二. 素數(shù),定理（Euclid）：素數(shù)有無限多。證法一：如果素數(shù)只有有限多個，記為那么根據(jù)算術(shù)基本定理，的素數(shù)因子就一定不是上述的素數(shù)

3、，矛盾！,二. 素數(shù),證法二（Riemann)：根據(jù)算術(shù)基本定理，其中s是大于1的實數(shù)。 如果素數(shù)只有有限多，那么無論s取什么值等式右邊都是有限值，而等式左邊當(dāng)s=1時是發(fā)散的。矛盾！,二. 素數(shù),利用證法二可以證明：定理（Dirichlet)：等差級數(shù) a，a+d，a+2d，…，a+nd，… 中如果a和d互素，那么該等差級數(shù)中會有無限多個素數(shù)。,二. 素數(shù),Riemann zeta 函數(shù)滿足函數(shù)

4、方程s??1-s。(Riemann猜想)： Riemann zeta函數(shù)的非平凡零點在實部為1/2的豎直線。,二. 素數(shù),如果p和p+2都是素數(shù)，稱（p，p+2）為孿生素數(shù)。如（3，5）； （5，7）； （11，13）； （17，19）等等。猜想：孿生素數(shù)有無限多對？,二. 素數(shù),Green-Tao定理：對任意正整數(shù)n，存在長度為n且每一項都是素數(shù)的等差級數(shù)。例如：{ 3，7，11 }

5、 (n=3) { 5，11，17，23，29 } (n=5),二.素數(shù),目前用計算機明確找到最長的素數(shù)等差級數(shù)是{ 6171054912832631+366384x223092870xk: k=0,1,2,…,24 },二.素數(shù),猜想1: (Goldbach 猜想) 任意大于2的偶數(shù)都可寫成兩個素數(shù)的和。猜想2: (Schinzel 猜想): 首項系數(shù)為

6、正的整系數(shù)不可約多項式, 若沒有固定正因子, 則存在無限多個素數(shù)可表示為該多項式的形式。,二.素數(shù),特例: (Landau 猜想) 是否存在無限多素數(shù)可寫為 x +1的形式？ 類似地，可以有多個變元和若干個多項式的Schinzel 猜想。,二.素數(shù),Dirichlet 定理： 對任給定的非退化本原二元二次型，都存在無限多個素數(shù)可表示為該二元二次型的形式。 Iwaniec 將這個結(jié)果推廣到二元二次非退

7、化本原多項式情形。,二.素數(shù),Friedlander-Iwaniec （1998）定理： 存在無限多個素數(shù)可以表示為 x + y 的形式。 Heath-Brown （2001）定理： 存在無限多個素數(shù)可以表示為 x + 2y 的形式。,三. 丟番圖方程,整數(shù)為系數(shù)的多項式方程都稱為丟番圖方程。希爾伯特第十問題：是否存在一個能確定整系數(shù)多項式方程有無整數(shù)解的算法？答案：否。(Davies-

8、Putnam-Robinson-Matijasevic-Cudnovskii),三. 丟番圖方程,必要條件：1）方程在實數(shù)域上有解。2）方程模任何整數(shù)m有解。,三. 丟番圖方程,例：方程沒有整數(shù)解。（沒有實數(shù)解）。例：方程 沒有整數(shù)解。（模3沒有解）。,三. 丟番圖方程,設(shè) 為素數(shù)。 由中國剩余定理：,三. 丟番圖方程,對素數(shù)p，考慮

9、 （乘積拓?fù)洌?的閉包。記為Zp。 上述必要條件:方程在實數(shù)域R和Zp上均有解。此時稱方程局部有解。,四.線性方程,由帶余除法法：線性方程有整數(shù)解當(dāng)且僅當(dāng)方程局部有解，即上述必要條件也是充分條件。,五.二次方程,· 一個二次齊次整系數(shù)方程有本原解當(dāng)且僅當(dāng)該方程局部有非平凡解。（Hasse-Mi

10、nkowski 定理） ·一般一個二次整系數(shù)方程局部有解推不出它有整數(shù)解。這個問題有比較完整的答案，但仍沒有得到徹底解決。,五.二次方程,例(Fermat)：若二次齊次方程F(x,y,z)=0有一個非平凡的整數(shù)解，則該方程有無限多組本原整數(shù)解，由 Q∪{∞}參數(shù)化。 費馬的證明： F(x,y,z)=0有非平凡的整數(shù)解一一對應(yīng)于 的有理解。,五.二次方程,&#

11、183;(Fermat-Gauss): 一個整數(shù)可表為兩個整數(shù)的平方和當(dāng)且僅當(dāng)局部可表為兩平方和。·(Gauss-Legendre):一個整數(shù)可表為三個整數(shù)的平方和當(dāng)且僅當(dāng)局部可表為三平方和。·(Lagrange):每個正整數(shù)可表為四個整數(shù)的平方和。,六.三次方程,·三次齊次多項式局部有非平凡解推不出該方程有整數(shù)解。·三元三次齊次光滑整系數(shù)多項式給出射影空間虧格為1的一條光滑

12、曲線。判定這類整系數(shù)方程是否存在非平凡的本原的整數(shù)解仍沒有一般的方法。,六.三次方程,·如果三元三次齊次光滑整系數(shù)多項式方程有一個非平凡的本原的整數(shù)解，稱該方程為橢圓曲線。記為E。·橢圓曲線上非平凡的本原的整數(shù)解 E(Z)構(gòu)成一個有限生成的交換群。(Mordell 定理),六.三次方程,根據(jù)有限生成交換群的結(jié)構(gòu)定理 E(Z) ≌ Z ⊕ E(Z)&

13、#183;定理(Mazur)：﹟E(Z) ≤16·猜想： 可任意大？,六.三次方程,除有限多個素數(shù)外，E模素數(shù)p成為有限域上的一條橢圓曲線。定義：其中 =p+1- #E( ) 。 稱為E的L-函數(shù)。,六.三次方程,·定理(Wiles，Taylor-Wiles，Taylor，…)： E的L-函數(shù)可解析開拓到全復(fù)平面并滿

14、足函數(shù)方程s←→ 2-s。·BSD猜想：E的L函數(shù)在s=1處零點的階= 。,六.三次方程,·定理(Kolyvagin，Gross-Zagier)： 當(dāng)E的L-函數(shù)在s= 1的階≤1時，BSD猜想成立。,七. 高次方程,·定理（Siegel）：次數(shù)大于2的兩個變元的整系數(shù)多項式（光滑）方程僅有有限多個整數(shù)解。·定理（Faltings）：次數(shù)大于3的三個變元齊次（光滑）多項式至多

15、僅有有限多個非平凡的本原解。,七. 高次方程,·定理（Wiles): 如果n>2, 方程 的整數(shù)解滿足 xyz=0。,七. 高次方程,Euler猜想：方程 x + y + z = w 沒有正整數(shù)解。反例（Elkies-Frye）：95800 +217519 +414560 =422481,七. 高次方程,Catalan 猜想：方程