時滯微分方程理論及其在種群生態(tài)學中的應用.pdf

1、時滯微分方程是具有時間滯后的微分方程,它用于描述既依賴當前狀態(tài),又依賴過去歷史狀態(tài)的動力系統(tǒng).由于充分考慮了歷史對當前狀態(tài)的影響,它在物理、化學、工程、信息、經濟,特別是在生物數(shù)學等諸多領域都有重要應用.時滯微分方程平衡點的穩(wěn)定性,特別是全局穩(wěn)定性在實際應用中有重要的意義,而如何構造一個恰當?shù)睦钛牌罩Z夫泛函來研究平衡點的全局穩(wěn)定性,則成為具有很大吸引力和挑戰(zhàn)性的課題.分支問題是時滯微分方程研究中的另一個重要的課題,其研究對象是結構不穩(wěn)定

2、系統(tǒng),即當參數(shù)變化并經過某些臨界值時,系統(tǒng)的某些結構屬性發(fā)生根本的變化.時滯微分方程穩(wěn)定性和分支問題的研究既要用到經典的動力系統(tǒng)理論,又要用到拓撲、代數(shù)、泛函等相關知識,其研究有重大的理論意義和強烈的實際背景. 本文內容共分為三部分. 第一部分,我們簡要介紹了時滯微分方程的基本性質,給出各種穩(wěn)定性的定義,研究了常系數(shù)線性時滯微分方程解的性態(tài)與其對應的特征方程根的分布之間的關系.運用斯特姆函數(shù)序列系統(tǒng)的分析了一般三階指數(shù)多

3、項式方程λ<' 3>+α<,2>λ<'2>+α<,1>λ+α<,0>+(b<,2>λ<'2>+b<,1>λ+b<,0>)e<'-λT>=0,(0.0.1)推廣了已有的結果,同時給出李雅普諾夫泛函的定義及相關定理.另外,本部分還介紹了時滯微分方程的相空間分解理論、中心流形定理、局部Hopf分支理論、非線性自治時滯微分方程的分解、龐加萊規(guī)范型、Floquet理論和分支周期解的穩(wěn)定性以及全局H0pf分支理論. 第二部分,我們將時滯微分

4、方程基本理論應用到四類具有時滯的種群生態(tài)學模型系統(tǒng)中,重點研究了時滯對這些系統(tǒng)動力學行為的影響. §3.1建立并研究了六階具有捕撈的階段結構的兩種群競爭模型系統(tǒng): x<,1>(t)=α<,1>x<,2>(t)-γ<,1>x<,1>(t)-α<,1>e-<'y<,1>T<,1>X<,2>(t-T<,1>),X<,2>(t)=a<.1>e-γ<,1>T<,1>x<,2>7(t-T<,1>)-β<,1>X<'2><,2>(t)

5、-E<,1>(t)X<,2>(t)-a<,1>X<,2>(t)y<,2>(t),y<,1>(t)=a<,2>y<,2>(t)-γ<,2>y<,1>(t)-A<,2>e-γ<,2>T<,2>y<,2>(t-T<,2>),(0.0.2)y<,2>(t)=α<,2>e-γ<,2>T<,2>(t-T<,2>)-β<,2>y<'2><,2>(t)-E<,2>(t)y<,2>(t)-a<,2>x<,2>(t)y<,2>(t),E<,1>(t)=K<

6、,1> E<,1>(t)(P<,1>x<,2>(t)-c<,1>),E<,2>(t)=k<,2>E<,2>(t)(P<,2>y<,2>(t)-c<,2>).我們修改了文獻[139]中的兩種群階段結構競爭模型,引入捕撈率函數(shù)E<,1>(t)和E<,2>(t),從而使模型更具有現(xiàn)實意義.模型系統(tǒng)由原來的四階變?yōu)楝F(xiàn)在的六階時滯微分方程,這大大增加了研究的難度.我們證明了該系統(tǒng)解的正不變性、有界性,給出系統(tǒng)出現(xiàn)九個平衡點的參數(shù)條件,分析了平衡點

7、的穩(wěn)定性,并指出在這種參數(shù)條件下,不存在Hopf分支. §3.2研究了具有時滯的三階傳染病模型系統(tǒng): §(t)=αs[1-(s+i)]-si,i(t)=-b<,2>i+si-liy,(0.0.3)y(t)=-b<,1>y+kli{t-t)y(t-T).對傳染病模型,通常研究其解的正不變性和有界性,平衡點的存在性和局部穩(wěn)定性以及Hopf分支的存在性等.然而,對高階時滯微分方程的分支研究甚少.我們的研究結果表明:小時滯并不影

8、響系統(tǒng)正平衡點的穩(wěn)定性.而當時滯超過一定的臨界值時,正平衡點由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定,產生Hopf分支.另外,利用中心流形和規(guī)范型理論,通過研究時滯微分方程的高階項,得到由Hopf分支所產生的分支周期解的性質,如分支方向、穩(wěn)定性及周期等. §3.3分析了更具實際意義的一階時滯Logistic方程: X(t)=rx(t)[1-α<,1>(t)-a<,2>x(t-T)],(0.0.4)Gopalsamy[43]通過證明當0

9、<1時,方程(0.0.4)的所有解趨向于其正平衡點,研究了參數(shù)r與r對方程(0.0.4)動力學行為的影響.對生態(tài)系統(tǒng)而言,平衡點的穩(wěn)定性及解的周期性是一個重要而基本的問題.本節(jié)主要研究參數(shù)α<,1>,α<,2>及時滯r對Logistic方程(0.0.4)的動力學行為的影響.通過分析正平衡點對應的特征方程,得到正平衡點絕對穩(wěn)定的條件.在一定的參數(shù)條件下,通過構造適當?shù)睦钛牌罩Z夫泛函,證明了正平衡點是全局漸近穩(wěn)定的.另外,我們分析了系統(tǒng)產生

10、Hopf分支的條件及分支周期解的一系列性質,隨后對系統(tǒng)的局部Hopf分支進行了全局延拓. §3.4對下列具有時滯的捕食者一食餌模型進行了全局分析,對方程(0.0.5)而言,證明其正平衡點的全局穩(wěn)定性和其存在的非平凡周期一致有界相當困難,需要很多的技巧.本節(jié)通過研究,分別得到正平衡點全局穩(wěn)定和系統(tǒng)存在全局Hopf分支的條件,從而在理論上證實了生物學家從實驗和數(shù)值計算中得到的當食餌的種群密度達到一定的程度時,捕食者與食餌共存的現(xiàn)象.