分?jǐn)?shù)階Laplace算子的譜理論及其在微分方程中的應(yīng)用.pdf

1、本文主要研究帶權(quán)函數(shù)的分?jǐn)?shù)階Laplace算子的譜理論,作為分?jǐn)?shù)階Laplace算子譜理論的應(yīng)用,我們建立了分?jǐn)?shù)階Laplacian擾動(dòng)問(wèn)題的單側(cè)全局分歧現(xiàn)象并考慮了分?jǐn)?shù)階非線性問(wèn)題定號(hào)解的存在性。本文具體由以下五部分內(nèi)容組成:
　　首先介紹了分?jǐn)?shù)階微分方程的發(fā)展現(xiàn)狀、本文的主要工作、分?jǐn)?shù)階Laplace算子的定義、分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和積分的定義及其一些基本性質(zhì).
　　其次運(yùn)用 Ljusternik-Schnirelmann理論研究

2、了分?jǐn)?shù)階 Laplace線性微分算子的特征值和特征函數(shù),尤其證明了第一個(gè)特征值λ1是簡(jiǎn)單和孤立的.為了應(yīng)用的方便,緊接著考慮了分?jǐn)?shù)階Laplace算子擾動(dòng)問(wèn)題的單側(cè)全局分歧定理.假設(shè)擾動(dòng)函數(shù)g滿(mǎn)足一些自然的增長(zhǎng)條件,我們得到(λ1,0)是問(wèn)題(此處公式省略)的分歧點(diǎn).并且存在從(λ1,0)分歧出的無(wú)界連通分支C,它由兩個(gè)無(wú)界的子連通分支 C+和 C?組成.基于上面的單側(cè)全局分歧定理,我們又研究了一類(lèi)非線性分?jǐn)?shù)階微分方程定號(hào)解的存在性。這

3、些譜理論和定號(hào)解的存在性結(jié)果部分地推廣了 Servadei等人[Discrete Contin. Dyn. Syst.2013],[J. Math. Anal. Appl.2012]及Fiscella[Topol. Methods Nonlinear Anal.2014]的主要結(jié)果.
　　接著研究了帶不可微非線性項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階微分方程（此處公式省略）的單側(cè)全局分歧結(jié)構(gòu),我們分別討論了從平凡解線和無(wú)窮遠(yuǎn)處產(chǎn)生的分歧.首先得到了從區(qū)間[λ

4、1?d,λ1+d]×{0}分歧出一個(gè)無(wú)界的連通分支C,它由兩條無(wú)界的子連通分支C+和C?組成.其次證明了從區(qū)間[λ1?dˉ,λ1+dˉ]×{+∞}分歧出一個(gè)無(wú)界的連通分支D,它也由兩個(gè)無(wú)界的子連通分支D+和D?組成,其中λ1是相應(yīng)線性分?jǐn)?shù)階 Laplace微分算子的主特征值。d。dˉ是正常數(shù).基于該單側(cè)全局區(qū)間分歧理論,我們獲得了分?jǐn)?shù)階半線性算子主半特征值的存在性,進(jìn)一步研究了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階非線性問(wèn)題定號(hào)解的存在性。這一章的主要結(jié)果把帶有不

5、可微非線性項(xiàng)的古典橢圓微分方程的單側(cè)全局區(qū)間分歧定理推廣到分?jǐn)?shù)階情形,并獲得了分?jǐn)?shù)階半線性特征值問(wèn)題主半特征值的存在性。這些結(jié)果在分?jǐn)?shù)階情形下是新的.
　　然后運(yùn)用拓?fù)涠群蚏abinowitz全局分歧定理,研究了分?jǐn)?shù)階兩點(diǎn)邊值問(wèn)題（此處公式省略）正解解集連通分支的全局結(jié)構(gòu),其中 R Dα0+表示α∈(1,2]階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),λ>0是一實(shí)參數(shù).本章的主要結(jié)果推廣并改進(jìn)了 Bai et al[J. Ma

6、th. Anal. Appl.2005]的主要結(jié)果.
　　最后討論了分?jǐn)?shù)階微分包含問(wèn)題（此處公式省略）解的存在性,其中0D?βx和 xD?β1分別表示β∈(0,1)階左和右Riemann-Liouville積分,0