分?jǐn)?shù)階微分方程若干應(yīng)用問題的研究.pdf

1、分?jǐn)?shù)階微積分是一個有著300年歷史的數(shù)學(xué)問題.盡管它有著如此長久的研究歷史，但在相當(dāng)長的時間內(nèi)，其研究主要集中于數(shù)學(xué)的純理論性領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行.然而最近十多年，隨著分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用領(lǐng)域的不斷擴(kuò)展，比如其在刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的各種物質(zhì)、流變學(xué)、材料和力學(xué)系統(tǒng)、信號處理和系統(tǒng)辨識、ANN（神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）、分形和混沌等領(lǐng)域的應(yīng)用，分?jǐn)?shù)階微積分方程應(yīng)用的研究變得越來越活躍了.
　　 本文研究分?jǐn)?shù)階微分方程在傳染病模型和混沌系統(tǒng)領(lǐng)域方面的應(yīng)用.

2、根據(jù)傳染病病毒傳播過程具有記憶性以及分?jǐn)?shù)階微積分具有刻畫物質(zhì)記憶和遺傳性質(zhì)的特征，我們建立分?jǐn)?shù)階的HIV（艾滋病病毒）微分方程模型來研究HIV感染過程的動態(tài)性質(zhì)．而對于混沌，這幾年以來，分?jǐn)?shù)階的混沌、超混沌系統(tǒng)的研究很活躍，這里研究一個新的分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的同步控制和一般分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的軌道控制問題.
　　 本文共有四章，主體可分為二部分，其中第一部分（即第二章）研究HIV感染CD4+T細(xì)胞群分?jǐn)?shù)階微分方程模型正解的存在唯一性及

3、其動態(tài)性質(zhì)．第三章為文章的第二部分，研究分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制及軌道控制問題．
　　 第二章，研究如下分?jǐn)?shù)階HIV感染CD4+T細(xì)胞群的微分方程模型：
　　 其中：0＜Υ≤1，D(γ)表示Caputo意義下的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)．根據(jù)有關(guān)分?jǐn)?shù)階微分方程解的全局存在性理論以及分?jǐn)?shù)階函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)證明了上述模型正解存在且唯一；接著應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微分方程的Routh-Hurwitz條件來討論了模型平衡點的局部穩(wěn)定性問題，給出了平衡點局部漸

4、近穩(wěn)定的充分條件．?dāng)?shù)值模擬說明了模型平衡點局部漸近穩(wěn)定性結(jié)論的正確性以及治愈項pI引入的有效性．
　　 第三章，首先研究如下四維的分?jǐn)?shù)階Chen-Lee超混沌系統(tǒng)：
　　 其中：0＜q＜1．?dāng)?shù)值仿真說明了該分?jǐn)?shù)階Chen-Lee系統(tǒng)存在超混沌吸引子且要比其對應(yīng)的整數(shù)階Chen-Lee超混沌系統(tǒng)的超混沌吸引子的結(jié)構(gòu)要復(fù)雜得多；接著依據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分的穩(wěn)定性理論，用自適應(yīng)反饋法和Laplace變換理論兩種方法實現(xiàn)了上述超混沌C