分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的正解.pdf

1、近幾十年來，非線性問題一直是數(shù)學(xué)、流體力學(xué)、電化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、動態(tài)系統(tǒng)的控制理論等諸多科研領(lǐng)域的研究核心.人們在尋求這些問題解決之道的過程中，逐步建立起現(xiàn)代分析學(xué)的一個重要研究體系--非線性泛函分析．它主要包括拓?fù)浞椒ā胄蚍椒白兎址椒ǖ葍?nèi)容．這些方法為解決各種復(fù)雜的非線性問題，奠定了夯實(shí)的理論基礎(chǔ)．在1912年，L．E．J．Brouwer首先建立了針對有限維空間的拓?fù)涠雀拍睿?934年，J．Schauder和J．Leray推廣

2、了這一概念，并給出Banach空間全連續(xù)場的概念.在這之后，M.A．Krasnosel'skii，K.Deimling，H．Amann等進(jìn)一步完善拓?fù)涠壤碚摗㈠F理論等理論基礎(chǔ)．在這期間，在非線性泛函分析的許多領(lǐng)域，張恭慶教授、郭大鈞教授、孫經(jīng)先教授等均取得了非常令人矚目的成就（這方面的內(nèi)容參見[1-15]）．
　　 然而，隨著科技的不斷發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)從非線性問題建立起來的數(shù)學(xué)模型中所得到非線性微分方程的階數(shù)不一定都是整數(shù)階.如果

3、微分方程的階數(shù)可以取為分?jǐn)?shù)階，數(shù)學(xué)模型反而能更好地描述實(shí)際問題.鑒于非線性泛函分析的大部分理論可以應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階微分方程，近幾年來，分?jǐn)?shù)階非線性問題逐漸成為人們研究的中心課題．1695年，M.L'Hospital首先提出分?jǐn)?shù)階微分的概念，隨后，L．Euler，J．Liouville，J．L．Lagrange等都曾對分?jǐn)?shù)階微分進(jìn)行了十分重要的研究．近十年來，I．Podlubny,A．A．Kilbas，H．M.Srivastava，J．J．T

4、rujillo等進(jìn)一步完善系統(tǒng)化分?jǐn)?shù)階微分理論（這方面的內(nèi)容參見[16-29]）．
　　 本文主要利用非線性泛函分析中的拓?fù)涠壤碚摵湾F的相關(guān)理論，討論了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性以及多解等．文章結(jié)構(gòu)安排如下：
　　 第一章給出了分?jǐn)?shù)階微分與積分的定義，以及與分?jǐn)?shù)階微積分相關(guān)的一些定理.同時，在本章中給出了非線性泛函分析中的若干不動點(diǎn)定理.這些定義、定理是本文進(jìn)行研究的基礎(chǔ)．
　　 第二章利用Scha

5、uder不動點(diǎn)定理和Krasnoselskii不動點(diǎn)定理的推廣形式，研究了如下非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的兩點(diǎn)邊值問題至少存在一個正解： u(0)＋u＇(0)=0, u(1)＋u＇(1)=0,(1.2)其中1＜α≤2是實(shí)數(shù)，CD(?)是Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，f：[0，1]×[0，+∞)×(?)→[0，+∞)是連續(xù)的.
　　 第三章利用Leray-Schauder不動點(diǎn)定理，研究了如下非線性分?jǐn)?shù)階奇異微分方程的三點(diǎn)邊值問題至少存在一個

6、正解：其中D是標(biāo)準(zhǔn)的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，并且α，β,γ，a，ξ，f滿足如下條件：(H1)1＜α＜2,0＜β＜1,0≤γ＜1,0≤a≤1,0＜ξ＜1, aξα-γ-2≤1-γ，0＜α-γ-1，0≤β+i-α．(H2)f：(0，1)×[0，+∞)×(?)→[0，+∞)關(guān)于LP[0,1](p≥1)滿足Carathéodory條件．
　　 第四章利用不動點(diǎn)指數(shù)理論，研究了下面非線性分?jǐn)?shù)階奇異微分方程的m點(diǎn)邊值問