帶調(diào)和勢的非線性Schrodinger方程.pdf

1、Schrodinger方程是量子力學(xué)中的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型<'[2-4,10,43,48,54,83,84]>。關(guān)于非線性Schrodinger方程嚴(yán)格的數(shù)學(xué)研究則只是近30年的事情． Segal<'[70]>提出非線性半群理論， Strauss<'[72,73]>就非線性波動方程小解的散射性作了開創(chuàng)性的研究． Glassey<'[40>]關(guān)于非線性Schrodinger方程的爆破性質(zhì)得出了有影響的結(jié)果。根據(jù)Strichartz<'[7

2、4]>估計，Ginibre和Velo<'[40,41]>在能量空間中建立了非線性Schrodinger方程Cauchy問題的局部適定性，這是奠基性的結(jié)果。隨著關(guān)于經(jīng)典的非線性Schrodinger方程的研究進(jìn)入了一個非常豐富的時期，一系列重要進(jìn)展已經(jīng)取得<'[ll,16,17,39,55-59,73,75,76,81]>。作為這些進(jìn)展取得的代表人物， J.Bourgain，F(xiàn).Merle，W.A.Strauss，H.Levine，T.

3、Cazenave，P.L.Lions,Y.Tsutsumi，T.Tao，李大潛，郭柏靈等數(shù)學(xué)家在偏微分方程及核心數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展中起著標(biāo)志性的作用。 本文，旨在研究這個帶調(diào)和勢的非線性SchrSdinger方程吸引狀況下臨界和超臨界兩種情形的整體解存在的最佳條件． 整個論文我們的思想方法源自于Zhang<'[85-93]>所建立的以現(xiàn)代變分法為依托，把非線性波動系統(tǒng)的整體適定性與駐波解的存在性及穩(wěn)定性有機聯(lián)系起來的工作框架

4、.在此框架下，我們作了進(jìn)一步的發(fā)展．通過分析這個方程的特征，以Cauchy問題的局部適定性為基礎(chǔ)，構(gòu)造合適泛函和Nehari流形，從而設(shè)置強制約束變分問題．通過分析這些變分問題的特性，構(gòu)造某些特定的函數(shù)．結(jié)合這些函數(shù)特征、方程的特征以及一些重要不等式的特征，建立了它的所謂發(fā)展不變流.然后，討論該方程的整體解存在性與有限時間內(nèi)的坍塌性質(zhì)．最后結(jié)合變分特征確定出該方程整體解存在的最佳條件． 第一章，介紹了方程的相關(guān)物理背景、已有研究

5、狀況、問題，以及這篇論文的工作． 第二章，研究了方程的臨界狀態(tài)p=1+4/N和超臨界狀態(tài)P>1+4/N．通過構(gòu)造各種精致的泛函，設(shè)置了不同的強制變分問題．然后建立了方程的發(fā)展不變流，從而得到方程整體解和爆破解的門檻條件．同時給出了臨界狀態(tài)的初值到底要小到什么程度，其整體解才會存在。第三章，研究了方程的超臨界狀態(tài)，即 。找到了其整體解存在的條件。一方面，這個條件使得我們找到了一個能量空間中初值可以任意充分大的一個子集合，使得其對應(yīng)

6、的解都整體存在．另一方面，當(dāng) 時，這個條件恰好與Zhang<'［89］>和Carles<'［15］>的結(jié)論相吻合。 第四章，研究了方程的超臨界狀態(tài)，即 。用能量泛函作為判別準(zhǔn)則，給出了方程Cauchy問題的整體解和爆破解存在的條件。并且回答了超臨界狀態(tài)初值到底要小到什么程度，其整體解才會存在。值得注意的是，這里刻畫的條件都是可計算的。因此，它在實際應(yīng)用中有很大的價值。 第五章，研究了當(dāng)方程帶上耗散項時的情形，獲得了其整體

7、解和爆破解存在的條件。進(jìn)一步，分析了其整體解和爆破解的行為特征。 第六章，研究了方程耦合時的情形，得到了其整體解和爆破解的門檻條件。同時也用能量泛函作為判別準(zhǔn)則，給出了方程Caudly問題的整體解和爆破解存在的條件。并且回答了初值到底要小到什么程度，其整體解才會存在。 第七章，研究了方程帶上雙非線性項時的情形，得到了其整體解和爆破解的門檻條件。同時給出了初值到底要小到什么程度，其整體解才會存在。 第八章，研究了方