Hilbert數(shù)的下界估計.pdf

1、David Hilbert在1900年國際數(shù)學家大會的開幕式上提出了23個公開問題，其中第16個是關于代數(shù)曲線的分類和常微分方程定性理論的一個非常重要但又非常困難的問題．可以說在上個世紀有很大一部分定性理論方面的工作直接或間接與此問題相關，例如在綜述性文獻[Bull．Amer．Math．Soc．(New Series)，2002，39(3)：301—354]中羅列了160多篇相關參考文獻；在專著[葉彥謙，多項式微分系統(tǒng)定性理論，上?？茖W

2、技術出版社，上海， 1993]中羅列了600多篇文獻。在1995年該問題又作為Stephen Smale關于21世紀18個數(shù)學問題[Math．Intelli．，1998，20(2)：7-15]的第13問題而提出。 在緒論中，我們討論了多項式系統(tǒng)的極限環(huán)以及高階細焦點系統(tǒng)的研究進展。事實上研究這些問題的方法很多，本章中我們主要介紹了向量場的分岔和后繼函數(shù)方法以及這些方法的研究進展。 為了全面了解Hilbert第16問題工作

3、的進展，本文第二章將作一個綜述，內(nèi)容涉及到人們對Hilbert第16問題細分的三個層面：單個有限性問題、存在性Hilbert問題和構造性Hilbert問題。 在第三章我們研究了Hilbert第16問題的第三個層面，具體地說是對任意奇數(shù)次系統(tǒng)構造性地給出Hilbert，數(shù)H(n)地更好的下界，其中H(n)代表n次多項式系統(tǒng)最大的極限環(huán)個數(shù)。白敬新、劉一戎對偶數(shù)n證明了H(n)≥n<'2>-n，對奇數(shù)n尚無結果。 從白敬新、

4、劉一戎的方法可以知道，Hilbert數(shù)的下界與所構造系統(tǒng)的小參數(shù)個數(shù)直接相關。在本文第四章我們構造了含有更多小參數(shù)的特殊系統(tǒng)使得各個焦點量之間具有更好的隱含遞推關系，在轉化焦點量計算的基礎上充分利用這些遞推關系得到更高階數(shù)的細焦點系統(tǒng)，從而對偶數(shù)n得到更高的下界H(n)≥n<'2>-1。這個結果不僅改進了前人的結果，而且當n=2時還表明系統(tǒng)有3個極限環(huán)，這正是Bautin在1954年對二次系統(tǒng)得到的、至今仍是圍繞單個奇點極限環(huán)的最高個數(shù)