幾類非線性問題的多重網(wǎng)格解法.pdf

1、非線性問題來源非常廣泛,在工程、機械、物理、最優(yōu)控制等領(lǐng)域都有應(yīng)用.在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中非線性問題變得越來越重要了,它的數(shù)值解法特別是大規(guī)模問題的數(shù)值解法的研究已成為工程界和計算數(shù)學(xué)界一個非常熱門的課題.人們希望對離散后的n維方程組用(O)(n)次乘除運算就能得到所需精度的解.而多重網(wǎng)格法首次實現(xiàn)了這個目標,成為求解大規(guī)模問題最有效的方法.近幾十年來,經(jīng)典的多重網(wǎng)格法已經(jīng)比較成熟,在求解非線性問題上取得很多重要成果.本文將研究半線性橢圓問題

2、和非光滑橢圓問題的多重網(wǎng)格解法.
　　 對于一般的半線性橢圓問題,通常要求其半線性項必須足夠光滑或為C2連續(xù),因此,降低半線性項的光滑性十分重要.在第2章,我們考慮了半線性項導(dǎo)數(shù)局部H(o)lder連續(xù)時的半線性橢圓問題的數(shù)值求解.我們首先對這類問題進行有限元離散,得到其標準有限元誤差估計.我們?nèi)缓笥闷俨夹投嘀鼐W(wǎng)格法求解相應(yīng)的離散問題,證明了算法具有能量范數(shù)意義下的最優(yōu)收斂階和擬最優(yōu)計算復(fù)雜度.數(shù)值實驗表明了算法是非常有效的.<

3、br>　　 在第3章,我們提出了求解半線性橢圓問題的集中質(zhì)量瀑布型多重網(wǎng)格算法.首先用集中質(zhì)量方法對半線性橢圓問題進行離散,得到了集中質(zhì)量有限元逼近形式的L2誤差估計.用集中質(zhì)量方法離散半線性橢圓問題具有兩大優(yōu)點:一方面.集中質(zhì)量方法離散所得的離散方程組的非線性函數(shù)的Jacobi矩陣很好計算,因為離散所得的方程是一個線性函數(shù)和一個對角非線性函數(shù)的和；另一方面,我們能構(gòu)造一些具有單調(diào)收斂性的迭代形式來求解相應(yīng)的離散方程組.基于之前的集中

4、質(zhì)量有限元誤差估計,我們證明了集中質(zhì)量瀑布型多重網(wǎng)格算法的最優(yōu)性.我們也用數(shù)值實驗表明了這一點.
　　 在第4章,我們研究了非光滑橢圓方程的非光滑牛頓多重網(wǎng)格算法.我們首先考慮此類問題的有限元方法,給出其有限元逼近格式的誤差估計.一般情況下,非光滑牛頓型方法被用于求解相應(yīng)的離散問題.而當網(wǎng)格加密時,相應(yīng)的牛頓子方程的系數(shù)矩陣條件數(shù)就會變壞,數(shù)值上不易于求解.而且,當離散問題的規(guī)模很大時,精確求解子問題需要很大的計算工作量.因此,

5、本章中,我們將在每個牛頓步采用多重網(wǎng)格技巧來求解相應(yīng)的牛頓方程.在適當?shù)臈l件下,我們證明了算法的網(wǎng)格無關(guān)收斂性及最優(yōu)性.大量的數(shù)值實驗驗證了我們所得到的有限元誤差估計結(jié)果,并且也充分說明了算法的有效性.數(shù)值結(jié)果表明,當網(wǎng)格步長h越來越小的時候,和經(jīng)典的非光滑牛頓法或是有效集方法相比較,非光滑牛頓多重網(wǎng)格算法所消耗的CPU時間大大減少,從而節(jié)約了計算工作量.
　　 在第5章,我們提出了光滑化牛頓多重網(wǎng)格算法用于求解非光滑橢圓方程.