Sturm-Liouville算子及AKNS算子的逆問題.pdf

1、微分算子理論主要研究如下兩個(gè)方面：特征值和特征函數(shù)以及將任意函數(shù)按特征值、特征函數(shù)展開成級數(shù)(或積分)；基于一定的譜數(shù)據(jù)尋求微分算子的存在唯一性以及重構(gòu)。前者稱為微分算子的譜分析,后者稱為逆譜問題。微分算子理論在數(shù)學(xué)物理、力學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。本文主要研究具有重要理論和應(yīng)用價(jià)值的Sturm-Liouville算子和AKNS算子的逆特征值問題。眾所周知,Borg已經(jīng)證明了兩組完整的譜可以確定一個(gè)Sturm-Liouville算子或AKN

2、S算子(即勢函數(shù)和邊值條件)。另一方面,有反例表明,當(dāng)一組譜中缺失部分特征值時(shí),勢函數(shù)不能被唯一確定。此外,Hochstadt曾證明在已知一組譜和一組缺失有限個(gè)特征值的譜時(shí),勢函數(shù)可以通過方程的解確定。
　　 本文對Sturm-Liouville問題的研究將應(yīng)用Hochstadt的方法,考慮由三組譜確定勢函數(shù)和邊值條件的問題,即證明Sturm-Liouville問題的勢函數(shù)可以由[0,1]區(qū)間上的一組整譜和[0,a]、[a,1]