分式微分方程的等價性研究.pdf

1、我們知道，對于研究時變微分系統(tǒng)x’=X(t，x)解的幾何性態(tài)不但有深刻的理論意義同時具有廣泛的實際應用價值。當X(t，x)=X(x)時，對于自治系統(tǒng)x’=X(x)解的性態(tài)的研究結(jié)果已有很多，而對于時變系統(tǒng)x’=X(t，x)的研究就相對困難許多，特別對于周期微分系統(tǒng)x’=X(t，x)，X(t+2ω，x)=X(t，x)的研究。經(jīng)典的方法有Poincaré映射和Lyapunov變換，這些方法對于研究周期時變系統(tǒng)解的性態(tài)具有很大幫助，但對于不可

2、積周期時變系統(tǒng)，有時應用起來比較困難。而Mironenko創(chuàng)建的反射函數(shù)法為我們提供了研究周期時變系統(tǒng)解的幾何性態(tài)新的方法。本文應用Mironenko的反射函數(shù)方法來研究了微分方程與其擾動方程之間的等價關(guān)系，考慮了微分方程是分式微分方程的情形。連續(xù)可微函數(shù)F(t，x)是該微分方程的反射函數(shù)，當且僅當F(t，x)滿足反射函數(shù)的基本關(guān)系式。當我們用反射函數(shù)F(t，x)來研究分式微分方程時，如果系數(shù)函數(shù)都是2ω-周期函數(shù)，那么該周期微分方程的

3、Poincaré映射可以定義為T(x)=F(-ω，x)。從而該微分方程在[-ω，ω]上有意義的解φ(t；-ω，x)為2ω-周期，當且僅當X為映射T的不動點，即F(-ω，x)=x。如果分式微分方程與其擾動方程具有相同的反射函數(shù)，則我們稱它們是等價的。由等價性，若某些微分方程屬于同一等價類，且它們又是周期微分方程，則它們的Poincaré映射就相同，從而它們的周期解的性態(tài)也相同。因此研究一個微分方程的反射函數(shù)，就可以知道與其等價的一類微分方

4、程的解的性態(tài)。
　　 本文是在已有文獻的基礎(chǔ)上，著重研究了分式微分方程與其擾動方程之間的等價關(guān)系，特別地，當擾動項是多項式和有理分式函數(shù)時，它們之間等價的充分條件，推廣了已有文獻中關(guān)于Abel方程研究的相關(guān)結(jié)論。利用等價性，我們可以將復雜微分方程的研究轉(zhuǎn)化為簡單微分方程的研究。在引言中，介紹了文章的研究背景、研究現(xiàn)狀、研究意義。在預備知識里，為后文敘述方便，詳細地給出了反射函數(shù)的定義，微分系統(tǒng)等價的定義及性質(zhì)，微分系統(tǒng)等價與Po